ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 245 Атанасян — Подробные Ответы

Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и CC1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.

Для доказательства равенства MN = BM + CN рассмотрим следующие шаги:

1. Прямая NM параллельна BC, а CO является секущей. Углы ∠NOC и ∠OCB равны как накрест лежащие. Поскольку CC1 — биссектриса, угол ∠NCO равен углу ∠NOC. Следовательно, треугольник CNO равнобедренный, и CN = NO.
2. Прямая NM параллельна BC, а BO является секущей. Углы ∠MOB и ∠OBC равны как накрест лежащие. Поскольку BB1 — биссектриса, угол ∠MBO равен углу ∠MOB. Следовательно, треугольник MOB равнобедренный, и OM = MB.
3. Длина отрезка MN равна сумме NO и OM. Подставляя равенства CN = NO и BM = OM, получаем, что MN = BM + CN.

Дано:
Треугольник ABC. Биссектрисы BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая NM, параллельная стороне BC, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону AC в точке N.
Требуется доказать: MN = BM + CN.

Решение:

1. Рассмотрим прямую NM, которая параллельна стороне BC, и секущую CO.
Углы ∠NOC и ∠OCB равны, так как они накрест лежащие.
По условию CC1 — биссектриса, следовательно, угол ∠NCO равен углу ∠NOC.
Таким образом, треугольник CNO является равнобедренным, и отсюда следует, что CN = NO.

2. Рассмотрим прямую NM, которая параллельна стороне BC, и секущую BO.
Углы ∠MOB и ∠OBC равны, так как они накрест лежащие.
По условию BB1 — биссектриса, следовательно, угол ∠MBO равен углу ∠MOB.
Таким образом, треугольник MOB является равнобедренным, и отсюда следует, что OM = MB.

3. Теперь рассмотрим длину отрезка MN.
По построению MN = NO + OM.
Подставляем из предыдущих шагов: NO = CN и OM = BM.
Следовательно, MN = CN + BM.

Таким образом, доказано, что MN = BM + CN.