ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 177 Атанасян — Подробные Ответы

Условие:

Даны два треугольника $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$. Известно, что:

• $AB=A_1{B}_1$,
• $AC=A_1{C}_1$,
• $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }{A}_1$.

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $K$ и $L$, а на сторонах $A_1{C}_1$ и $B_1{C}_1$ треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ — точки $K_1$ и $L_1$, такие что:

• $AK=A_1{K}_1$,
• $LC=L_1{C}_1$.

Доказать:
a) $KL=K_1{L}_1$;
b) $AL=A_1{L}_1$.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁ равны по первому признаку: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
На сторонах AC и BC выбраны точки K и L, а на A₁C₁ и B₁C₁ – точки K₁ и L₁, такие, что AK = A₁K₁, LC = L₁C₁.

Доказать:
a) KL = K₁L₁
б) AL = A₁L₁

Решение:
1. ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁ (по первому признаку). Следовательно, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

a) Рассмотрим AC = AK + KC = A₁K₁ + K₁C₁.
Из условия AK = A₁K₁, значит, KC = K₁C₁.

ΔKCL ≅ ΔK₁C₁L₁ (по первому признаку: KC = K₁C₁, LC = L₁C₁, ∠C = ∠C₁).
Следовательно, KL = K₁L₁.

б) BC = BL + LC = B₁L₁ + L₁C₁.
Из условия LC = L₁C₁, значит, BL = B₁L₁.

ΔABL ≅ ΔA₁B₁L₁ (по первому признаку: AB = A₁B₁, BL = B₁L₁, ∠B = ∠B₁).
Следовательно, AL = A₁L₁.

Ответ:
a) KL = K₁L₁
б) AL = A₁L₁

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁. Известно, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки K и L, а на сторонах A₁C₁ и B₁C₁ треугольника A₁B₁C₁ — точки K₁ и L₁, такие, что AK = A₁K₁ и LC = L₁C₁.
Необходимо доказать:
a) KL = K₁L₁
б) AL = A₁L₁

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.
По условию:
AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует:
BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

2. Доказательство пункта a (KL = K₁L₁):
Рассмотрим сторону AC треугольника ABC:
AC = AK + KC.
Аналогично, для треугольника A₁B₁C₁:
A₁C₁ = A₁K₁ + K₁C₁.
По условию AK = A₁K₁.
Так как AC = A₁C₁ (равенство сторон из равенства треугольников), то
KC = K₁C₁.

Теперь рассмотрим треугольники KCL и K₁C₁L₁.
В них:
KC = K₁C₁ (доказано выше),
LC = L₁C₁ (по условию),
∠C = ∠C₁ (равенство углов из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
Следовательно, треугольники KCL и K₁C₁L₁ равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
Из равенства этих треугольников следует, что KL = K₁L₁.

3. Доказательство пункта б (AL = A₁L₁):
Рассмотрим сторону BC треугольника ABC:
BC = BL + LC.
Аналогично, для треугольника A₁B₁C₁:
B₁C₁ = B₁L₁ + L₁C₁.
По условию LC = L₁C₁.
Так как BC = B₁C₁ (равенство сторон из равенства треугольников), то
BL = B₁L₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABL и A₁B₁L₁.
В них:
AB = A₁B₁ (по условию),
BL = B₁L₁ (доказано выше),
∠B = ∠B₁ (равенство углов из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
Следовательно, треугольники ABL и A₁B₁L₁ равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
Из равенства этих треугольников следует, что AL = A₁L₁.

Ответ:
a) KL = K₁L₁
б) AL = A₁L₁