Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 167 Атанасян — Подробные Ответы
Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены на равные отрезки AD, CE и BF. Требуется доказать, что треугольник DEF является равносторонним.
Дано: треугольник ABC равносторонний. Его стороны продолжены на равные отрезки AD, CE, BF. Требуется доказать, что треугольник DEF равносторонний.
Рассмотрим треугольники DFB и FCE.
По условию CE = FB, а также DB = FC, так как это суммы равных отрезков: сторона равностороннего треугольника и ее продолжение.
Углы DBF и FCE равны, так как они являются внешними углами равностороннего треугольника ABC.
Следовательно, треугольники DFB и FCE равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).
Из равенства треугольников следует, что DF = FE.
Аналогично доказывается равенство треугольников FCE и DAE.
Из этого следует, что FE = ED.
Таким образом, DF = FE = ED, значит, треугольник DEF равносторонний.
Дано: треугольник ABC равносторонний, его стороны продолжены на равные отрезки AD, CE, BF. Требуется доказать, что треугольник DEF равносторонний.
Рассмотрим треугольники DFB и FCE.
1. По условию CE = FB, так как отрезки продолжений равны. Также DB = FC, так как это суммы равных отрезков: стороны равностороннего треугольника и их продолжений.
2. Углы DBF и FCE равны, так как они являются внешними углами равностороннего треугольника ABC. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, а внешние углы равны 120°. Таким образом, угол DBF равен углу FCE.
3. В треугольниках DFB и FCE выполняются следующие условия:
— DB = FC (доказано выше),
— CE = FB (по условию),
— угол DBF равен углу FCE (внешние углы равностороннего треугольника).
4. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны) треугольники DFB и FCE равны. Из равенства треугольников следует, что DF = FE.
Теперь рассмотрим треугольники FCE и DAE.
5. По условию AD = CE, так как отрезки продолжений равны. Также FE = ED, так как это суммы равных отрезков: стороны равностороннего треугольника и их продолжений.
6. Углы FCE и DAE равны, так как они являются внешними углами равностороннего треугольника ABC. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, а внешние углы равны 120°. Таким образом, угол FCE равен углу DAE.
7. В треугольниках FCE и DAE выполняются следующие условия:
— FE = ED (доказано выше),
— CE = AD (по условию),
— угол FCE равен углу DAE (внешние углы равностороннего треугольника).
8. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны) треугольники FCE и DAE равны. Из равенства треугольников следует, что ED = DF.
Таким образом, доказано, что DF = FE = ED. Следовательно, треугольник DEF равносторонний.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.