Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 166 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что точка O — середина отрезка MN.
Дано: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N являются серединами отрезков AC и BD соответственно. Требуется доказать, что точка O является серединой отрезка MN.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники COA и BOD. По условию CO = OD и AO = BO, а углы COA и BOD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники COA и BOD равны по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что AC = BD.
2. Рассмотрим точки M и N, которые являются серединами отрезков AC и BD соответственно. Тогда AM = MC и BN = ND, а также AM = BN, так как AC = BD.
3. Рассмотрим треугольники AOM и BON. AO = BO по условию, углы при вершинах A и B равны (как доказано в пункте 1), а AM = BN (как половины равных отрезков). По первому признаку равенства треугольников треугольники AOM и BON равны.
4. Из равенства треугольников следует, что MO = ON. Таким образом, точка O является серединой отрезка MN.
Доказательство завершено.
Дано: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N — середины отрезков AC и BD соответственно.
Требуется доказать, что точка O — середина отрезка MN.
Решение:
1. Рассмотрим отрезки AB и CD. По условию они пересекаются в точке O, которая является их общей серединой. Это означает, что AO = BO и CO = DO.
2. Рассмотрим треугольники COA и BOD. В этих треугольниках:
— CO = DO (по условию);
— AO = BO (по условию);
— угол COA равен углу BOD, так как они вертикальные.
Следовательно, треугольники COA и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).
3. Из равенства треугольников COA и BOD следует, что AC = BD, а также углы при вершинах A и B равны.
4. Рассмотрим точки M и N. По условию M — середина отрезка AC, а N — середина отрезка BD. Это означает, что AM = MC и BN = ND.
5. Поскольку AC = BD (доказано в пункте 3), то AM = BN, так как они являются половинами равных отрезков AC и BD.
6. Рассмотрим треугольники AOM и BON:
— AO = BO (по условию);
— AM = BN (доказано в пункте 5);
— углы при вершинах A и B равны (доказано в пункте 3).
Следовательно, треугольники AOM и BON равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).
7. Из равенства треугольников AOM и BON следует, что MO = ON.
8. Поскольку MO = ON, точка O является серединой отрезка MN.
Доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.