ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 166 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что точка O — середина отрезка MN.

Дано: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N являются серединами отрезков AC и BD соответственно. Требуется доказать, что точка O является серединой отрезка MN.

Решение:
1. Рассмотрим треугольники COA и BOD. По условию CO = OD и AO = BO, а углы COA и BOD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники COA и BOD равны по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что AC = BD.

2. Рассмотрим точки M и N, которые являются серединами отрезков AC и BD соответственно. Тогда AM = MC и BN = ND, а также AM = BN, так как AC = BD.

3. Рассмотрим треугольники AOM и BON. AO = BO по условию, углы при вершинах A и B равны (как доказано в пункте 1), а AM = BN (как половины равных отрезков). По первому признаку равенства треугольников треугольники AOM и BON равны.

4. Из равенства треугольников следует, что MO = ON. Таким образом, точка O является серединой отрезка MN.

Доказательство завершено.

Дано: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N — середины отрезков AC и BD соответственно.
Требуется доказать, что точка O — середина отрезка MN.

Решение:
1. Рассмотрим отрезки AB и CD. По условию они пересекаются в точке O, которая является их общей серединой. Это означает, что AO = BO и CO = DO.

2. Рассмотрим треугольники COA и BOD. В этих треугольниках:
— CO = DO (по условию);
— AO = BO (по условию);
— угол COA равен углу BOD, так как они вертикальные.

Следовательно, треугольники COA и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).

3. Из равенства треугольников COA и BOD следует, что AC = BD, а также углы при вершинах A и B равны.

4. Рассмотрим точки M и N. По условию M — середина отрезка AC, а N — середина отрезка BD. Это означает, что AM = MC и BN = ND.

5. Поскольку AC = BD (доказано в пункте 3), то AM = BN, так как они являются половинами равных отрезков AC и BD.

6. Рассмотрим треугольники AOM и BON:
— AO = BO (по условию);
— AM = BN (доказано в пункте 5);
— углы при вершинах A и B равны (доказано в пункте 3).

Следовательно, треугольники AOM и BON равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).

7. Из равенства треугольников AOM и BON следует, что MO = ON.

8. Поскольку MO = ON, точка O является серединой отрезка MN.

Доказательство завершено.