Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 165 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K1 так, что AK = BK1. Докажите, что: а) OK = OK1; б) точка O лежит на прямой KK1.
Дано: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K1 так, что AK = BK1.
а) Рассмотрим треугольники ACO и BDO. CO = OD и AO = OB, так как O — середина отрезков. Углы COA и DOB равны как вертикальные. Следовательно, треугольники ACO и BDO равны по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что углы CAO и DBO равны. Рассмотрим треугольники AKO и BK1O. AK = BK1 по условию, AO = BO, углы KAO и K1BO равны, как доказано ранее. Следовательно, треугольники AKO и BK1O равны по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что OK = OK1.
б) Так как треугольники AKO и BK1O равны, то углы KAO и K1BO равны. Прямые AO и BO лежат на одной линии, а углы KAO и K1BO вертикальные. Следовательно, точки K, O и K1 лежат на одной прямой.
Доказательство завершено.
Дано: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K1 так, что AK = BK1. Требуется доказать: а) OK = OK1; б) точка O лежит на прямой KK1.
Решение:
1. Рассмотрим отрезки AB и CD. Поскольку они пересекаются в точке O, которая является их общей серединой, то AO = OB и CO = OD.
2. Рассмотрим треугольники ACO и BDO. В этих треугольниках AO = BO (по условию), CO = DO (по условию), а угол AOC равен углу BOD, так как они вертикальные. Следовательно, треугольники ACO и BDO равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).
3. Из равенства треугольников ACO и BDO следует, что углы CAO и DBO равны (соответствующие углы равных треугольников).
4. Теперь рассмотрим треугольники AKO и BK1O. В этих треугольниках AO = BO (по условию, так как O — середина отрезка AB), AK = BK1 (по условию), а углы KAO и K1BO равны, так как они равны углам CAO и DBO соответственно, которые мы доказали равными ранее.
5. Таким образом, треугольники AKO и BK1O равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны). Из равенства этих треугольников следует, что OK = OK1 (соответствующие стороны равных треугольников).
6. Для доказательства того, что точка O лежит на прямой KK1, отметим, что из равенства треугольников AKO и BK1O следует равенство углов KAO и K1BO. Прямые AO и BO лежат на одной линии, так как O — общая середина отрезков AB и CD, а углы KAO и K1BO являются вертикальными. Следовательно, точки K, O и K1 лежат на одной прямой.
Доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.