Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 160 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что:
а) каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B;
б) каждая точка, равноудалённая от точек A и B, лежит на прямой a.
Дано: Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.
а) Докажем, что каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.
Возьмем произвольную точку M на прямой a. Прямая a перпендикулярна AB и проходит через середину отрезка AB. Треугольники AMO и BMO равны по первому признаку равенства треугольников (AO = BO как половины отрезка AB, угол O прямой, OM общая сторона). Следовательно, AM = BM.
б) Докажем, что каждая точка, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
Пусть точка M равноудалена от точек A и B, то есть AM = BM. Соединим M с серединой O отрезка AB. Треугольники AMO и BMO равны по первому признаку равенства треугольников (AM = BM, AO = BO, OM общая сторона). Следовательно, угол O прямой, а точка M лежит на прямой a.
Вывод: утверждения а и б доказаны.
Дано: Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Требуется доказать:
а) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.
б) Каждая точка, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
Решение:
а) Докажем, что каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.
1. Пусть точка O — середина отрезка AB, а прямая a проходит через точку O и перпендикулярна отрезку AB.
2. Возьмем произвольную точку M на прямой a. Соединим точки M и A, а также M и B.
3. Рассмотрим треугольники AMO и BMO.
— AO = BO, так как O — середина отрезка AB.
— OM — общая сторона.
— Углы AOM и BOM прямые, так как прямая a перпендикулярна отрезку AB.
4. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники AMO и BMO равны.
5. Из равенства треугольников следует, что AM = BM.
6. Так как точка M была произвольной точкой прямой a, то каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.
б) Докажем, что каждая точка, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
1. Пусть точка M равноудалена от точек A и B, то есть AM = BM.
2. Соединим точку M с точкой O — серединой отрезка AB.
3. Рассмотрим треугольники AMO и BMO.
— AM = BM по условию.
— AO = BO, так как O — середина отрезка AB.
— OM — общая сторона.
4. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники AMO и BMO равны.
5. Из равенства треугольников следует, что углы AOM и BOM равны. Так как сумма этих углов равна 180 градусов (они смежные), то каждый из них равен 90 градусов.
6. Следовательно, прямая OM перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину O. Это означает, что точка M лежит на прямой a.
7. Так как точка M была произвольной точкой, равноудаленной от точек A и B, то любая такая точка лежит на прямой a.
Вывод:
а) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.
б) Каждая точка, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
Таким образом, оба утверждения доказаны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.