Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 141 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ являются биссектрисами, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Необходимо доказать, что треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁.
Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. По условию AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁. Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что углы B и B₁ равны, а также углы A и A₁ равны, так как AD и A₁D₁ являются биссектрисами.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В них AB = A₁B₁ по условию, углы A и A₁ равны (доказано выше), углы B и B₁ равны (доказано выше). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по второму признаку равенства треугольников.
Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. Нам даны следующие условия:
1. AB = A₁B₁
2. BD = B₁D₁
3. AD = A₁D₁
Так как три стороны треугольника ABD равны соответствующим сторонам треугольника A₁B₁D₁, то треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть угол BAD равен углу B₁A₁D₁, а угол ABD равен углу A₁B₁D₁.
Кроме того, так как отрезки AD и A₁D₁ являются биссектрисами углов A и A₁ в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно, то угол BAC делится пополам на два равных угла, и угол B₁A₁C₁ делится пополам на два равных угла. Следовательно, угол A равен углу A₁.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В этих треугольниках:
1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. Угол A равен углу A₁ (доказано выше)
3. Угол B равен углу B₁ (так как треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны)
По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Таким образом, доказано, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.