ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 141 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ являются биссектрисами, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Необходимо доказать, что треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. По условию AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁. Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что углы B и B₁ равны, а также углы A и A₁ равны, так как AD и A₁D₁ являются биссектрисами.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В них AB = A₁B₁ по условию, углы A и A₁ равны (доказано выше), углы B и B₁ равны (доказано выше). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по второму признаку равенства треугольников.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. Нам даны следующие условия:

1. AB = A₁B₁
2. BD = B₁D₁
3. AD = A₁D₁

Так как три стороны треугольника ABD равны соответствующим сторонам треугольника A₁B₁D₁, то треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть угол BAD равен углу B₁A₁D₁, а угол ABD равен углу A₁B₁D₁.

Кроме того, так как отрезки AD и A₁D₁ являются биссектрисами углов A и A₁ в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно, то угол BAC делится пополам на два равных угла, и угол B₁A₁C₁ делится пополам на два равных угла. Следовательно, угол A равен углу A₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В этих треугольниках:

1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. Угол A равен углу A₁ (доказано выше)
3. Угол B равен углу B₁ (так как треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны)

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Таким образом, доказано, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.