ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 140 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольниках ABC и A1B1C1 медианы BM и B1M1 равны, AB = A1B1, AC = A1C1. Докажите, что ∆ABC = ∆A1B1C1.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. По условию AB = A₁B₁ и BM = B₁M₁. Также AM = A₁M₁, так как это половины равных сторон AC и A₁C₁. Следовательно, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по третьему признаку, а углы ∠A и ∠A₁ равны.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. По условию AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, а углы ∠A и ∠A₁ равны (доказано ранее). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. По условию AB = A₁B₁, а медианы BM и B₁M₁ равны. Нам нужно доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.

1. Так как BM и B₁M₁ — медианы, точки M и M₁ являются серединами сторон AC и A₁C₁ соответственно. Следовательно, AM = A₁M₁, так как это половины равных сторон AC и A₁C₁ (по условию AC = A₁C₁).

2. В треугольниках ABM и A₁B₁M₁ известно:
— AB = A₁B₁ (по условию),
— BM = B₁M₁ (по условию),
— AM = A₁M₁ (доказано выше).

Таким образом, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём равным сторонам). Из равенства треугольников следует, что углы ∠A и ∠A₁ равны.

3. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В этих треугольниках:
— AB = A₁B₁ (по условию),
— AC = A₁C₁ (по условию),
— ∠A = ∠A₁ (доказано выше).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Таким образом, доказано, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.