ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 133 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

Дано: Биссектриса треугольника ABC является его высотой.

Решение:
1. Биссектриса делит угол B на два равных угла: ∠ABM = ∠CBM.
2. Высота делит основание AC на два равных отрезка: AM = MC.
3. В треугольниках ABM и CBM:
— ∠ABM = ∠CBM (по условию);
— BM общая сторона;
— AM = MC (по свойству высоты).
4. По первому признаку равенства треугольников ABM и CBM следует, что AB = BC.

Вывод: Треугольник ABC равнобедренный.

Дано: Биссектриса треугольника ABC является одновременно его высотой, то есть она делит угол B на два равных угла и перпендикулярна основанию AC. Требуется доказать, что треугольник ABC равнобедренный.

Решение:

1. Пусть BM — это биссектриса и высота треугольника ABC. Биссектриса делит угол B на два равных угла: ∠ABM = ∠CBM.

2. Так как BM — высота, то она перпендикулярна к основанию AC. Следовательно, ∠BMA = ∠BMC = 90°. Это означает, что BM делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABM и CBM.

3. По свойству высоты, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, BM делит основание AC на два равных отрезка: AM = MC.

4. Рассмотрим треугольники ABM и CBM. В них:
— ∠ABM = ∠CBM (по условию, так как BM — биссектриса);
— BM — общая сторона;
— AM = MC (по свойству высоты, делящей основание пополам).

5. По первому признаку равенства треугольников (по катету и прилежащему углу) треугольники ABM и CBM равны.

6. Из равенства треугольников ABM и CBM следует, что AB = BC, так как соответствующие стороны равных треугольников равны.

Вывод: Треугольник ABC равнобедренный, так как его боковые стороны AB и BC равны.