ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 132 Атанасян — Подробные Ответы

Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Дано: Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в точках M и N.

Решение: Биссектриса делит угол A на два равных угла, то есть ∠MAO = ∠NAO. Прямая, перпендикулярная биссектрисе, пересекает стороны угла, образуя прямые углы OM и ON с этими сторонами. Треугольники OMA и ONA равны по гипотенузе OA и равным прилежащим углам. Следовательно, OM = ON, что означает равенство AM и AN, так как точки M и N равноудалены от вершины A.

Вывод: треугольник AMN равнобедренный.

Дано: Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в точках M и N. Требуется доказать, что треугольник AMN равнобедренный.

Решение:

1. Пусть угол A обозначен как ∠BAC. Биссектриса угла A делит этот угол на два равных угла: ∠BAO = ∠CAO. Обозначим их как α.

2. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в точках M и N. Это означает, что прямая образует прямые углы с обеими сторонами угла, то есть ∠OMA = ∠ONA = 90°.

3. Рассмотрим два треугольника OMA и ONA. В них:
— OA является общей стороной.
— Углы ∠MAO и ∠NAO равны, так как они равны α (по свойству биссектрисы).
— Углы ∠OMA и ∠ONA равны и равны 90°.

4. По первому признаку равенства треугольников (по катету и прилежащему острому углу) треугольники OMA и ONA равны.

5. Из равенства треугольников следует, что OM = ON. Это означает, что точки M и N равноудалены от прямой биссектрисы.

6. Так как OM = ON и точки M и N лежат на одной прямой, перпендикулярной биссектрисе, то отрезки AM и AN равны.

7. В треугольнике AMN две стороны равны: AM = AN. Следовательно, треугольник AMN равнобедренный.

Вывод: Треугольник AMN равнобедренный, так как его две стороны равны.