Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 131 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.
Дано: треугольники DEF и MNP. EF = NP, DF = MP, угол F = угол P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N – в точке K. Требуется доказать, что угол DOE = угол MKN.
Решение:
1. Из условия EF = NP, DF = MP и угол F = угол P следует, что треугольники DEF и MNP равны по первому признаку равенства треугольников.
2. Так как треугольники равны, то соответствующие углы равны: угол D = угол M, угол E = угол N.
3. Биссектрисы углов E и D в треугольнике DEF пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N в треугольнике MNP пересекаются в точке K.
4. В равных треугольниках биссектрисы соответствующих углов пропорциональны соответствующим сторонам и делят углы пополам одинаково. Поэтому конфигурация биссектрис в треугольниках DEF и MNP одинакова.
5. Угол DOE образован биссектрисами углов D и E, а угол MKN образован биссектрисами углов M и N. Так как углы D = M и E = N, то угол между биссектрисами (угол DOE) равен углу между биссектрисами (угол MKN).
Ответ: угол DOE = угол MKN.
Дано: в треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки CO и C1O1 — медианы, BC = B1C1, угол B = угол B1, угол C = угол C1.
а) Докажем, что треугольник ACO равен треугольнику A1C1O1.
1. AO = A1O1, так как CO и C1O1 — медианы, делящие стороны пополам.
2. BC = B1C1 по условию.
3. Углы C и C1 равны по условию.
По признаку равенства (сторона, угол, сторона) треугольники ACO и A1C1O1 равны.
б) Докажем, что треугольник BCO равен треугольнику B1C1O1.
1. CO = C1O1, так как медианы делят стороны пополам.
2. BC = B1C1 по условию.
3. Углы B и B1 равны по условию.
По признаку равенства (сторона, угол, сторона) треугольники BCO и B1C1O1 равны.
Дано: треугольники DEF и MNP. EF = NP, DF = MP, угол F = угол P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N пересекаются в точке K. Требуется доказать, что угол DOE = угол MKN.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники DEF и MNP. Из условия EF = NP, DF = MP, угол F = угол P. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны) треугольники DEF и MNP равны. Следовательно, их соответствующие элементы равны: стороны DE = MN, углы D = M, углы E = N.
2. Рассмотрим биссектрисы углов E и D в треугольнике DEF, которые пересекаются в точке O, и биссектрисы углов M и N в треугольнике MNP, которые пересекаются в точке K. Поскольку треугольники DEF и MNP равны, их биссектрисы соответствующих углов равны по длине и одинаково делят углы.
3. Пусть биссектрисы углов E и D в треугольнике DEF пересекаются в точке O. Точка O является точкой пересечения биссектрис, то есть инцентром треугольника DEF. Аналогично, точка K является инцентром треугольника MNP.
4. Рассмотрим угол DOE в треугольнике DEF. Этот угол образован биссектрисами углов D и E. Угол между биссектрисами определяется только величинами углов D и E, так как биссектрисы делят углы пополам. Аналогично, угол MKN в треугольнике MNP образован биссектрисами углов M и N, и его величина определяется только величинами углов M и N.
5. Так как треугольники DEF и MNP равны, углы D и M равны, а углы E и N равны. Следовательно, угол между биссектрисами углов D и E (угол DOE) равен углу между биссектрисами углов M и N (угол MKN).
6. Таким образом, угол DOE = угол MKN.
Ответ: угол DOE = угол MKN.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.