Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 128 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.
Рассмотрим равные треугольники ABC и A₁B₁C₁, где AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁, а также ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Пусть BM и B₁M₁ — биссектрисы углов ∠B и ∠B₁, проведенные к сторонам AC и A₁C₁ соответственно.
1. В треугольниках ABM и A₁B₁M₁:
— AB = A₁B₁ (по условию),
— ∠ABM = ∠A₁B₁M₁ (так как BM и B₁M₁ — биссектрисы, а углы ∠B и ∠B₁ равны),
— ∠AMB = ∠A₁M₁B₁ (как вертикальные углы).
2. По первому признаку равенства треугольников ABM и A₁B₁M₁ равны, следовательно, BM = B₁M₁.
Таким образом, биссектрисы BM и B₁M₁ равны.
Рассмотрим два равных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁, а также углы ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Нам нужно доказать, что биссектрисы BM и B₁M₁, проведенные к соответственно равным сторонам AC и A₁C₁, равны.
1. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. По условию они равны, то есть:
— AB = A₁B₁,
— BC = B₁C₁,
— AC = A₁C₁,
— ∠A = ∠A₁,
— ∠B = ∠B₁,
— ∠C = ∠C₁.
2. Пусть BM — биссектриса угла ∠B в треугольнике ABC, а B₁M₁ — биссектриса угла ∠B₁ в треугольнике A₁B₁C₁. По определению биссектрисы, BM делит угол ∠B на два равных угла, то есть ∠ABM = ∠CBM, а B₁M₁ делит угол ∠B₁ на два равных угла, то есть ∠A₁B₁M₁ = ∠C₁B₁M₁.
3. Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. Докажем, что они равны:
— Стороны AB и A₁B₁ равны по условию.
— Углы ∠ABM и ∠A₁B₁M₁ равны, так как BM и B₁M₁ — биссектрисы, а углы ∠B и ∠B₁ равны (из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
— Стороны AM и A₁M₁ пропорциональны сторонам AC и A₁C₁, а AC = A₁C₁ (по условию).
По первому признаку равенства треугольников ABM и A₁B₁M₁ равны.
4. Аналогично, треугольники CBM и C₁B₁M₁ равны:
— Стороны BC и B₁C₁ равны по условию.
— Углы ∠CBM и ∠C₁B₁M₁ равны, так как BM и B₁M₁ — биссектрисы, а углы ∠B и ∠B₁ равны.
— Стороны CM и C₁M₁ пропорциональны сторонам AC и A₁C₁, а AC = A₁C₁ (по условию).
По первому признаку равенства треугольников CBM и C₁B₁M₁ равны.
5. Из равенства треугольников ABM и A₁B₁M₁, а также CBM и C₁B₁M₁ следует, что BM = B₁M₁, так как это соответствующие стороны равных треугольников.
Таким образом, доказано, что биссектрисы BM и B₁M₁ равны.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.