ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 118 Атанасян — Подробные Ответы

На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что:
а) ∆BAM = ∆CAN;
б) треугольник AMN равнобедренный.

Дано: треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), на основании BC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Требуется доказать:

а) ∠BAM = ∠CAN
б) треугольник AMN равнобедренный

Решение:

а) В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, то есть ∠ABC = ∠ACB. Так как BM = CN и точки M и N симметрично делят основание BC, то отрезки BM и CN отсекают равные углы, то есть ∠BAM = ∠CAN.

б) Рассмотрим треугольник AMN. В нем AB = AC, а по условию BM = CN. Следовательно, AM = AN (так как отрезки AB и AC равны, а BM и CN вычитаются из равных сторон). Значит, треугольник AMN равнобедренный.

Доказано.

Дано: треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), на основании BC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Требуется доказать:
а) ∠BAM = ∠CAN
б) треугольник AMN равнобедренный

Решение:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны, то есть ∠ABC = ∠ACB.

2. По условию точки M и N делят основание BC так, что BM = CN. Это означает, что точка M симметрична точке N относительно середины основания BC.

3. Рассмотрим треугольники ABM и ACN. В них:
— AB = AC (по условию, так как треугольник ABC равнобедренный),
— BM = CN (по условию),
— ∠ABM = ∠ACN (так как углы при основании равны, а точки M и N симметричны).

Следовательно, треугольники ABM и ACN равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников ABM и ACN следует, что соответствующие углы равны. Значит, ∠BAM = ∠CAN. Это доказывает пункт а).

5. Рассмотрим треугольник AMN. В нем:
— AM = AN (так как AB = AC, а BM = CN, следовательно, отрезки AM и AN равны как разности равных отрезков),
— BM = CN (по условию).

Таким образом, треугольник AMN равнобедренный, так как его две стороны AM и AN равны. Это доказывает пункт б).

Доказано.