ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 110 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Если медиана треугольника является его высотой, то она делит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ABC, где медиана AM является высотой. Тогда AM перпендикулярна BC и делит BC на две равные части: BM = MC.

В прямоугольных треугольниках ABM и ACM гипотенузы AB и AC равны (по определению медианы), а катеты BM и MC равны (так как медиана делит основание пополам). По теореме Пифагора и равенству катетов и гипотенуз треугольники ABM и ACM равны. Следовательно, AB = AC, что доказывает равнобедренность треугольника ABC.

Дано: медиана треугольника является одновременно его высотой. Требуется доказать, что треугольник равнобедренный.

1. Рассмотрим треугольник ABC, где медиана AM делит основание BC на две равные части: BM = MC. Так как медиана является высотой, то она также перпендикулярна основанию BC, то есть AM ⊥ BC.

2. Таким образом, медиана AM делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABM и ACM.

3. В треугольниках ABM и ACM:
— Гипотенузы AB и AC являются сторонами исходного треугольника.
— Один из катетов в обоих треугольниках равен AM (общий катет).
— Другие катеты равны: BM = MC, так как AM — медиана и делит основание BC пополам.

4. По первому признаку равенства треугольников (гипотенуза и катет) треугольники ABM и ACM равны:
ABM ≅ ACM.

5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны. В частности, AB = AC.

6. Таким образом, стороны AB и AC равны, а значит, треугольник ABC равнобедренный.

Доказательство завершено.