Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 989 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите координаты вектора \(\vec{p}\) и его длину, если:
а) \(\vec{p} = 7\vec{a} — 3\vec{b}\), \(\vec{a} \{1; -1\}\), \(\vec{b} \{5; -2\}\);
б) \(\vec{p} = 4\vec{a} — 2\vec{b}\), \(\vec{a} \{6; 3\}\), \(\vec{b} \{5; 4\}\);
в) \(\vec{p} = 5\vec{a} — 4\vec{b}\), \(\vec{a} \left\{\frac{3}{5}; \frac{1}{5}\right\}\), \(\vec{b} \{6; -1\}\);
г) \(\vec{p} = 3(-2\vec{a} — 4\vec{b})\), \(\vec{a} \{1; 5\}\), \(\vec{b} \{-1; -1\}\).
Конечно, вот краткое решение:
1. Случай а:
\[
\vec{p} = 7\vec{a} — 3\vec{b}, \quad \vec{a} = (1, -1), \quad \vec{b} = (5, -2)
\]
\[
\vec{p} = 7(1, -1) — 3(5, -2) = (7 — 15, -7 + 6) = (-8, -1)
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
\]
2. Случай б:
\[
\vec{p} = 4\vec{a} — 2\vec{b}, \quad \vec{a} = (6, 3), \quad \vec{b} = (5, 4)
\]
\[
\vec{p} = 4(6, 3) — 2(5, 4) = (24 — 10, 12 — 8) = (14, 4)
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2} = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}
\]
3. Случай в:
\[
\vec{p} = 5\vec{a} — 4\vec{b}, \quad \vec{a} = \left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right), \quad \vec{b} = (6, -1)
\]
\[
\vec{p} = 5\left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right) — 4(6, -1) = (3 — 24, 1 + 4) = (-21, 5)
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2} = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}
\]
4. Случай г:
\[
\vec{p} = 3(2\vec{a} — 4\vec{b}), \quad \vec{a} = (1, 5), \quad \vec{b} = (-1, -1)
\]
\[
\vec{p} = 3(2(1, 5) — 4(-1, -1)) = 3(2 + 4, 10 + 4) = 3(6, 14) = (18, 42)
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{18^2 + 42^2} = \sqrt{324 + 1764} = \sqrt{2088} = 6\sqrt{58}
\]
Конечно, давайте рассмотрим каждое задание подробно.
1. Случай а:
Даны векторы \(\vec{a} = (1, -1)\) и \(\vec{b} = (5, -2)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 7\vec{a} — 3\vec{b}\).
Вычисляем:
\[
\vec{p} = 7(1, -1) — 3(5, -2)
\]
\[
\vec{p} = (7 \cdot 1 — 3 \cdot 5, 7 \cdot -1 — 3 \cdot -2)
\]
\[
\vec{p} = (7 — 15, -7 + 6)
\]
\[
\vec{p} = (-8, -1)
\]
Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2}
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
\]
2. Случай б:
Даны векторы \(\vec{a} = (6, 3)\) и \(\vec{b} = (5, 4)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 4\vec{a} — 2\vec{b}\).
Вычисляем:
\[
\vec{p} = 4(6, 3) — 2(5, 4)
\]
\[
\vec{p} = (4 \cdot 6 — 2 \cdot 5, 4 \cdot 3 — 2 \cdot 4)
\]
\[
\vec{p} = (24 — 10, 12 — 8)
\]
\[
\vec{p} = (14, 4)
\]
Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2}
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}
\]
3. Случай в:
Даны векторы \(\vec{a} = \left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right)\) и \(\vec{b} = (6, -1)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 5\vec{a} — 4\vec{b}\).
Вычисляем:
\[
\vec{p} = 5\left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right) — 4(6, -1)
\]
\[
\vec{p} = \left(5 \cdot \frac{3}{5} — 4 \cdot 6, 5 \cdot \frac{1}{5} — 4 \cdot (-1)\right)
\]
\[
\vec{p} = (3 — 24, 1 + 4)
\]
\[
\vec{p} = (-21, 5)
\]
Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2}
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}
\]
4. Случай г:
Даны векторы \(\vec{a} = (1, 5)\) и \(\vec{b} = (-1, -1)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 3(2\vec{a} — 4\vec{b})\).
Вычисляем:
\[
\vec{p} = 3(2(1, 5) — 4(-1, -1))
\]
\[
\vec{p} = 3((2 \cdot 1 + 4 \cdot 1), (2 \cdot 5 + 4 \cdot 1))
\]
\[
\vec{p} = 3(2 + 4, 10 + 4)
\]
\[
\vec{p} = 3(6, 14) = (18, 42)
\]
Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{18^2 + 42^2}
\]
\[
|\vec{p}| = \sqrt{324 + 1764} = \sqrt{2088} = 6\sqrt{58}
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.