ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 989 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите координаты вектора \(\vec{p}\) и его длину, если:

а) \(\vec{p} = 7\vec{a} — 3\vec{b}\), \(\vec{a} \{1; -1\}\), \(\vec{b} \{5; -2\}\);

б) \(\vec{p} = 4\vec{a} — 2\vec{b}\), \(\vec{a} \{6; 3\}\), \(\vec{b} \{5; 4\}\);

в) \(\vec{p} = 5\vec{a} — 4\vec{b}\), \(\vec{a} \left\{\frac{3}{5}; \frac{1}{5}\right\}\), \(\vec{b} \{6; -1\}\);

г) \(\vec{p} = 3(-2\vec{a} — 4\vec{b})\), \(\vec{a} \{1; 5\}\), \(\vec{b} \{-1; -1\}\).

1. Случай а:
\(
\vec{p} = 7\vec{a} — 3\vec{b}, \quad \vec{a} = (1, -1), \quad \vec{b} = (5, -2)
\)
\(
\vec{p} = 7(1, -1) — 3(5, -2) = (7 — 15, -7 + 6) = (-8, -1)
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
\)

2. Случай б:
\(
\vec{p} = 4\vec{a} — 2\vec{b}, \quad \vec{a} = (6, 3), \quad \vec{b} = (5, 4)
\)
\(
\vec{p} = 4(6, 3) — 2(5, 4) = (24 — 10, 12 — 8) = (14, 4)
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2} = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}
\)

3. Случай в:
\(
\vec{p} = 5\vec{a} — 4\vec{b}, \quad \vec{a} = \left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right), \quad \vec{b} = (6, -1)
\)
\(
\vec{p} = 5\left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right) — 4(6, -1) = (3 — 24, 1 + 4) = (-21, 5)
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2} = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}
\)

4. Случай г:
\(
\vec{p} = 3(2\vec{a} — 4\vec{b}), \quad \vec{a} = (1, 5), \quad \vec{b} = (-1, -1)
\)
\(
\vec{p} = 3(2(1, 5) — 4(-1, -1)) = 3(2 + 4, 10 + 4) = 3(6, 14) = (18, 42)
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{18^2 + 42^2} = \sqrt{324 + 1764} = \sqrt{2088} = 6\sqrt{58}
\)

1. Случай а:
Даны векторы \(\vec{a} = (1, -1)\) и \(\vec{b} = (5, -2)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 7\vec{a} — 3\vec{b}\).

Вычисляем:
\(
\vec{p} = 7(1, -1) — 3(5, -2)
\)
\(
\vec{p} = (7 \cdot 1 — 3 \cdot 5, 7 \cdot -1 — 3 \cdot -2)
\)
\(
\vec{p} = (7 — 15, -7 + 6)
\)
\(
\vec{p} = (-8, -1)
\)

Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\(
|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2}
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
\)

2. Случай б:
Даны векторы \(\vec{a} = (6, 3)\) и \(\vec{b} = (5, 4)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 4\vec{a} — 2\vec{b}\).

Вычисляем:
\(
\vec{p} = 4(6, 3) — 2(5, 4)
\)
\(
\vec{p} = (4 \cdot 6 — 2 \cdot 5, 4 \cdot 3 — 2 \cdot 4)
\)
\(
\vec{p} = (24 — 10, 12 — 8)
\)
\(
\vec{p} = (14, 4)
\)

Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\(
|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2}
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}
\)

3. Случай в:
Даны векторы \(\vec{a} = \left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right)\) и \(\vec{b} = (6, -1)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 5\vec{a} — 4\vec{b}\).

Вычисляем:
\(
\vec{p} = 5\left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right) — 4(6, -1)
\)
\(
\vec{p} = \left(5 \cdot \frac{3}{5} — 4 \cdot 6, 5 \cdot \frac{1}{5} — 4 \cdot (-1)\right)
\)
\(
\vec{p} = (3 — 24, 1 + 4)
\)
\(
\vec{p} = (-21, 5)
\)

Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\(
|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2}
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}
\)

4. Случай г:
Даны векторы \(\vec{a} = (1, 5)\) и \(\vec{b} = (-1, -1)\). Нужно найти вектор \(\vec{p} = 3(2\vec{a} — 4\vec{b})\).

Вычисляем:
\(
\vec{p} = 3(2(1, 5) — 4(-1, -1))
\)
\(
\vec{p} = 3((2 \cdot 1 + 4 \cdot 1), (2 \cdot 5 + 4 \cdot 1))
\)
\(
\vec{p} = 3(2 + 4, 10 + 4)
\)
\(
\vec{p} = 3(6, 14) = (18, 42)
\)

Теперь находим длину вектора \(\vec{p}\):
\(
|\vec{p}| = \sqrt{18^2 + 42^2}
\)
\(
|\vec{p}| = \sqrt{324 + 1764} = \sqrt{2088} = 6\sqrt{58}
\)