ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 953 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть \(ABCD\) — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283.

Если \(AD = BC = a\), а точка \(B\) имеет координаты \((b; c)\), то точка \(D\) имеет координаты \((a; 0)\), а точка \(C\) — координаты \((a + b; c)\). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

\(
AB^2 = b^2 + c^2, \quad AD^2 = a^2, \quad AC^2 = (a + b)^2 + c^2, \quad BD^2 = (a — b)^2 + c^2.
\)

Отсюда получаем:

\(
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2 (AB^2 + AD^2) = 2 (a^2 + b^2 + c^2),
\)

\(
AC^2 + BD^2 = (a + b)^2 + c^2 + (a — b)^2 + c^2 = 2 (a^2 + b^2 + c^2).
\)

Таким образом,

\(
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2,
\)

что и требовалось доказать.

Для доказательства утверждения о параллелограмме используем координатный метод. Пусть параллелограмм \(ABCD\) имеет стороны \(AD = BC = a\), а точки имеют координаты: \(A(0,0)\), \(B(b,c)\), \(C(a+b,c)\), \(D(a,0)\).

Вычислим квадрат длины каждой стороны и диагонали:

1. \(AB^2 = b^2 + c^2\)
2. \(AD^2 = a^2\)
3. \(BC^2 = a^2\)
4. \(CD^2 = b^2 + c^2\)

Сумма квадратов сторон:

\(
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)
\)

Теперь вычислим квадраты диагоналей:

1. \(AC^2 = (a+b)^2 + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + c^2\)
2. \(BD^2 = (a-b)^2 + c^2 = a^2 — 2ab + b^2 + c^2\)

Сумма квадратов диагоналей:

\(
AC^2 + BD^2 = (a^2 + 2ab + b^2 + c^2) + (a^2 — 2ab + b^2 + c^2) = \)
\(=2(a^2 + b^2 + c^2)\)

Таким образом, сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

\(
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2
\)

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат. Обозначим вершины параллелограмма следующим образом: \(A(0, 0)\), \(B(b, c)\), \(C(a + b, c)\), \(D(a, 0)\), где \(a\) и \(b\) — длины сторон, а \(c\) — высота, соответствующая стороне \(a\).

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками для вычисления квадратов длин сторон и диагоналей.

1. Найдём квадрат длины стороны \(AB\):
\(
AB^2 = b^2 + c^2
\)

2. Найдём квадрат длины стороны \(BC\):
\(
BC^2 = a^2
\)

3. Найдём квадрат длины стороны \(CD\):
\(
CD^2 = b^2 + c^2
\)

4. Найдём квадрат длины стороны \(DA\):
\(
DA^2 = a^2
\)

Сумма квадратов всех сторон:
\(
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = (b^2 + c^2) + a^2 + (b^2 + c^2) + a^2 =\)
\(= 2(a^2 + b^2 + c^2)
\)

Теперь найдём квадраты диагоналей.

1. Найдём квадрат длины диагонали \(AC\):
\(
AC^2 = (a + b)^2 + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + c^2
\)

2. Найдём квадрат длины диагонали \(BD\):
\(
BD^2 = (a — b)^2 + c^2 = a^2 — 2ab + b^2 + c^2
\)

Сумма квадратов диагоналей:
\(
AC^2 + BD^2 = (a^2 + 2ab + b^2 + c^2) + (a^2 — 2ab + b^2 + c^2)
\)
\(
AC^2 + BD^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)
\)

Таким образом, сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей:
\(
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2
\)

Это и требовалось доказать.