ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 884 Атанасян — Подробные Ответы

Внутри угла \( ABC \) равностороннего треугольника \( ABC \) взята точка \( M \) так, что \( \angle BMC = 30^\circ \), \( \angle BMA = 17^\circ \). Найдите углы \( BAM \) и \( BCM \).

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \) равносторонний. Углы \( \angle MBC = 30^\circ \), \( \angle BMA = 17^\circ \).
Найти: \( \angle BAM \) и \( \angle BCM \).

Решение:
1. Треугольник \( \triangle ABC \) равносторонний, следовательно:
\(
\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ.
\)

2. Построим окружность с центром в точке \( A \) и радиусом \( R = AB \). Точка \( M \) принадлежит окружности, так как угол \( \angle MBC = \frac{1}{2} \cdot \angle BCA = 30^\circ \).

3. Отметим точку \( D \), где \( D = BA \cap \) окружность. Хорда \( DB \) содержит центр окружности, следовательно, \( DB \) является диаметром.

4. Треугольник \( \triangle MAB \) равнобедренный, так как \( AM = AB = R \). Отсюда:
\(
\angle ABM = \angle BMA = 17^\circ.
\)

5. Найдем угол \( \angle BAM \):
\(
\angle BAM = 180^\circ — \angle ABM — \angle BMA = 180^\circ — 17^\circ — 17^\circ = 146^\circ.
\)

6. Треугольник \( \triangle MAC \) равнобедренный, так как \( AC = MA = R \). Отсюда:
\(
\angle AMB = \angle MCA = 17^\circ + 30^\circ = 47^\circ.
\)

7. Найдем угол \( \angle BCM \):
\(
\angle BCM = \angle MCA + \angle ACB = 47^\circ + 60^\circ = 107^\circ.
\)

Ответ:
\(
\angle BAM = 146^\circ, \quad \angle BCM = 107^\circ.
\)

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \) равносторонний. Углы \( \angle MBC = 30^\circ \), \( \angle BMA = 17^\circ \).
Найти: \( \angle BAM \) и \( \angle BCM \).

Решение:

1. Треугольник \( \triangle ABC \) является равносторонним, следовательно, все его углы равны:
\(
\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ.
\)

2. Построим окружность с центром в точке \( A \) и радиусом \( R = AB \). Поскольку угол \( \angle MBC = 30^\circ \), то точка \( M \) лежит на этой окружности (по свойству вписанного угла). Вписанный угол \( \angle MBC \) равен половине дуги, на которую он опирается.

3. Обозначим точку \( D \) как пересечение прямой \( BA \) с окружностью. Хорда \( DB \) проходит через центр окружности, следовательно, \( DB \) является диаметром окружности.

4. Рассмотрим треугольник \( \triangle MAB \). Этот треугольник равнобедренный, так как \( AM = AB = R \) (радиусы одной и той же окружности). Углы при основании равны:
\(
\angle ABM = \angle BMA = 17^\circ.
\)

5. Найдем угол \( \angle BAM \) в треугольнике \( \triangle MAB \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):
\(
\angle BAM = 180^\circ — \angle ABM — \angle BMA = 180^\circ — 17^\circ — 17^\circ = 146^\circ.
\)

6. Рассмотрим треугольник \( \triangle MAC \). Этот треугольник также равнобедренный, так как \( AC = MA = R \) (радиусы одной и той же окружности). Угол при вершине \( \angle MAC \) можно найти, зная, что угол \( \angle MBC = 30^\circ \). В этом случае:
\(
\angle AMB = \angle MCA = \angle BMA + \angle MBC = 17^\circ + 30^\circ = 47^\circ.
\)

7. Найдем угол \( \angle BCM \). Этот угол равен сумме углов \( \angle MCA \) и \( \angle ACB \):
\(
\angle BCM = \angle MCA + \angle ACB = 47^\circ + 60^\circ = 107^\circ.
\)

Ответ:
\(
\angle BAM = 146^\circ, \quad \angle BCM = 107^\circ.
\)