ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 825 Атанасян — Подробные Ответы

Внутри квадрата \( ABCD \) взята такая точка \( M \), что \( \angle MAB = 60^\circ \), \( \angle MCD = 15^\circ \). Найдите \( \angle MBC \).  

Дано: \( ABCD \) — квадрат, \( \angle MAB = 60^\circ \), \( \angle MCD = 15^\circ \). Найти: \( \angle MBC \).

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата буквой \( a \).
2. В треугольнике \( \triangle AMD \):
\(
\angle MAD = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ, \quad \angle MDA = 90^\circ — 15^\circ = 75^\circ.
\)
Тогда:
\(
\angle AMD = 180^\circ — (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ.
\)
Следовательно, треугольник \( \triangle AMD \) равнобедренный (\( AM = AD = a \)).

3. В треугольнике \( \triangle ABM \):
\(
AB = AM = a, \quad \angle MAD = 60^\circ.
\)
Значит, \( \triangle ABM \) равносторонний (\( \angle ABM = \angle AMB = 60^\circ \)).

4. Найдем угол \( \angle MBC \):
\(
\angle MBC = 90^\circ — \angle ABM = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.
\)

Ответ: \( \angle MBC = 30^\circ \).

Дано: \(ABCD\) — квадрат, \( \angle MAB = 60^\circ \), \( \angle MCD = 15^\circ \). Требуется найти угол \( \angle MBC \).

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата буквой \( a \). Все стороны квадрата равны \( a \), а его углы равны \( 90^\circ \).

2. Рассмотрим треугольник \( \triangle AMD \). В этом треугольнике угол \( \angle MAD \) можно найти как разность угла квадрата \( 90^\circ \) и угла \( \angle MAB = 60^\circ \):
\(
\angle MAD = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.
\)

Угол \( \angle MDA \) можно найти как разность угла квадрата \( 90^\circ \) и угла \( \angle MCD = 15^\circ \):
\(
\angle MDA = 90^\circ — 15^\circ = 75^\circ.
\)

Теперь найдем угол \( \angle AMD \) как сумму углов треугольника:
\(
\angle AMD = 180^\circ — (\angle MAD + \angle MDA) = 180^\circ — (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ.
\)

Так как углы \( \angle MAD \) и \( \angle MDA \) равны, треугольник \( \triangle AMD \) является равнобедренным:
\(
AM = AD = a.
\)

3. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). В этом треугольнике сторона \( AB \) равна стороне \( AM \) (\( AB = AM = a \)), а угол \( \angle MAD = 60^\circ \). Так как угол между равными сторонами \( AB \) и \( AM \) равен \( 60^\circ \), треугольник \( \triangle ABM \) является равносторонним:
\(
\angle ABM = \angle AMB = 60^\circ.
\)

4. Теперь найдем угол \( \angle MBC \). Угол \( \angle MBC \) является разностью прямого угла \( 90^\circ \) и угла \( \angle ABM \):
\(
\angle MBC = 90^\circ — \angle ABM = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.
\)

Ответ: \( \angle MBC = 30^\circ \).