Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 815 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
Дано: ABCD — четырехугольник.
Доказать: точки \( B \) и \( D \) лежат по разные стороны от прямой \( AC \).
Решение:
1) Предположим, что четырехугольник ABCD — выпуклый. Точки \( C \) и \( D \) лежат по одну сторону от прямой \( AB \), а точки \( C \) и \( B \) лежат по одну сторону от прямой \( AD \).
Следовательно, точка \( C \) находится внутри угла \( \angle BAD \), а точки \( B \) и \( D \) лежат по разные стороны от прямой \( AC \).
2) Предположим, что четырехугольник ABCD — невыпуклый, и прямая \( BC \) пересекает сторону \( AD \). Тогда существует точка \( E \), где \( E = |BC| \cap |AD| \).
Точка \( C \) принадлежит отрезку \( BE \) и находится внутри угла \( \angle BAE \). Поскольку точка \( C \) также лежит внутри угла \( \angle BAD \), то точки \( B \) и \( D \) лежат по разные стороны от прямой \( AC \).
Следовательно, утверждение доказано.
Дано: ABCD — четырехугольник.
Доказать: точки \( B \) и \( D \) лежат по разные стороны от прямой \( AC \).
Решение:
1. Рассмотрим случай, когда четырехугольник ABCD является выпуклым.
Точки \( C \) и \( D \) лежат по одну сторону от прямой \( AB \), поскольку четырехугольник выпуклый, и обе эти точки принадлежат внутренней области четырехугольника.
Точки \( C \) и \( B \) лежат по одну сторону от прямой \( AD \), так как стороны \( AB \) и \( AD \) являются соседними сторонами выпуклого четырехугольника.
Таким образом, точка \( C \) находится внутри угла \( \angle BAD \), который образован сторонами \( AB \) и \( AD \).
Поскольку точка \( C \) лежит внутри угла \( \angle BAD \), то точки \( B \) и \( D \) обязательно оказываются по разные стороны от прямой \( AC \), которая проходит через вершины \( A \) и \( C \).
2. Рассмотрим случай, когда четырехугольник ABCD не является выпуклым.
В этом случае прямая \( BC \) может пересекать сторону \( AD \). Пусть точка пересечения этих прямых обозначена как \( E \), то есть \( E = |BC| \cap |AD| \).
Точка \( C \) принадлежит отрезку \( BE \), так как \( C \) — одна из вершин четырехугольника, а \( BE \) — часть диагонали \( BC \).
При этом точка \( C \) находится внутри угла \( \angle BAE \), который образован сторонами \( AB \) и \( AE \).
Поскольку точка \( C \) также лежит внутри угла \( \angle BAD \), то точки \( B \) и \( D \) будут лежать по разные стороны от прямой \( AC \), так как прямая \( AC \) разделяет внутреннюю область угла \( \angle BAD \).
Вывод: независимо от того, является ли четырехугольник ABCD выпуклым или невыпуклым, точки \( B \) и \( D \) всегда лежат по разные стороны от прямой \( AC \). Утверждение доказано.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.