Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 807 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\), \(O\) — произвольная точка. Докажите, что
\(
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OB_1} + \overrightarrow{OC_1}.
\)
Дано:
ΔABC, AA₁, BB₁, CC₁ — медианы, точка O — произвольная.
Доказать:
OA + OB + OC = OA₁ + OB₁ + OC₁.
Решение:
1. По правилу треугольника:
OA₁ = OA + AA₁,
OB₁ = OB + BB₁,
OC₁ = OC + CC₁.
Сложим эти равенства:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC + AA₁ + BB₁ + CC₁.
2. Докажем, что AA₁ + BB₁ + CC₁ = 0.
По свойствам медиан:
BA₁ = A₁C,
B₁C = AB₁,
AC₁ = C₁B.
Следовательно:
BB₁ = BA₁ + AB₁ = -AB + ½ AC,
CC₁ = CA₁ + AC₁ = -AC + ½ AB,
AA₁ = AB + BA₁ = AB + ½ BC.
Сложим:
AA₁ + BB₁ + CC₁ = ½ AB + ½ AC + (-AB) + ½ AC + (-AC) + ½ AB = AB — AB + AC — AC = 0.
3. Подставим это в выражение:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC + 0.
Таким образом, доказано, что
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC.
Дано:
ΔABC, AA₁, BB₁, CC₁ — медианы, точка O — произвольная.
Доказать:
OA + OB + OC = OA₁ + OB₁ + OC₁.
Решение:
1. Используем правило треугольника для каждой медианы:
OA₁ = OA + AA₁,
OB₁ = OB + BB₁,
OC₁ = OC + CC₁.
Сложим эти равенства:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC + AA₁ + BB₁ + CC₁.
Теперь необходимо доказать, что AA₁ + BB₁ + CC₁ = 0.
2. По свойствам медиан треугольника известно:
BA₁ = A₁C,
B₁C = AB₁,
AC₁ = C₁B.
Рассмотрим выражения для векторов медиан:
BB₁ = BA₁ + AB₁. Так как BA₁ = -AB и AB₁ = ½ AC, то получаем:
BB₁ = -AB + ½ AC.
CC₁ = CA₁ + AC₁. Так как CA₁ = -AC и AC₁ = ½ AB, то получаем:
CC₁ = -AC + ½ AB.
AA₁ = AB + BA₁. Так как BA₁ = ½ BC, то получаем:
AA₁ = AB + ½ BC.
Сложим полученные выражения для медиан:
AA₁ + BB₁ + CC₁ = (AB + ½ BC) + (-AB + ½ AC) + (-AC + ½ AB).
Приведем подобные слагаемые:
AA₁ + BB₁ + CC₁ = AB — AB + ½ BC + ½ AC — AC + ½ AB = ½ BC + ½ AC — AC + ½ AB.
Теперь упростим:
AA₁ + BB₁ + CC₁ = 0.
3. Подставим это в исходное равенство:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC + 0.
Таким образом, доказано, что:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC.
Доказательство завершено.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.