Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 787 Атанасян — Подробные Ответы
Точка \(O\) — середина медианы \(EG\) треугольника \(DEF\). Выразите вектор \(\vec{DO}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{ED}\) и \(\vec{b} = \vec{EF}\).
Дано: \(\Delta DEF\), \(EG\) — медиана, \(EO = OG\), \(\vec{a} = \overrightarrow{ED}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{EF}\).
1. Находим \(\overrightarrow{DF}\):
\[
\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EF} — \overrightarrow{ED} = \vec{b} — \vec{a}.
\]
2. Находим \(\overrightarrow{GE}\):
\[
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DF} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}),
\]
\[
\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) + \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\]
3. Находим \(\overrightarrow{DO}\):
\[
\overrightarrow{DG} = -\overrightarrow{GD} = -\frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a},
\]
\[
\overrightarrow{GO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} \right) = \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a},
\]
\[
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
Приводим подобные:
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\]
Ответ:
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\]
Дано:
\(\Delta DEF\), \(EG\) — медиана, \(EO = OG\), \(\vec{a} = \overrightarrow{ED}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{EF}\).
Требуется выразить \(\overrightarrow{DO}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Решение:
1. Сначала найдем \(\overrightarrow{DF}\).
По условию треугольника \(\Delta DEF\), выполняется равенство:
\[
\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF}.
\]
Отсюда:
\[
\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EF} — \overrightarrow{ED}.
\]
Подставляем значения векторов:
\[
\overrightarrow{DF} = \vec{b} — \vec{a}.
\]
2. Точка \(G\) является серединой отрезка \(DF\). Следовательно, ее радиус-вектор определяется как:
\[
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DF}.
\]
Подставляем значение \(\overrightarrow{DF}\):
\[
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}).
\]
Теперь найдем радиус-вектор точки \(G\) относительно точки \(E\):
\[
\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DE}.
\]
Подставляем значения:
\[
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) + \vec{a}.
\]
Раскрываем скобки:
\[
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a}.
\]
Приводим подобные:
\[
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\]
3. Точка \(O\) является серединой отрезка \(EG\). Следовательно, ее радиус-вектор относительно точки \(E\) равен:
\[
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GE}.
\]
Подставляем значение \(\overrightarrow{GE}\):
\[
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} \right).
\]
Выполняем умножение:
\[
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
4. Теперь найдем радиус-вектор точки \(O\) относительно точки \(D\):
\[
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GO}.
\]
Так как \(\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{EO}\), имеем:
\[
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{EO}.
\]
Подставляем значение \(\overrightarrow{DG}\):
\[
\overrightarrow{DG} = -\overrightarrow{GD}.
\]
Отсюда:
\[
\overrightarrow{DG} = -\frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\]
Подставляем значения \(\overrightarrow{DG}\) и \(\overrightarrow{EO}\) в формулу для \(\overrightarrow{DO}\):
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
Приводим подобные:
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{2}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{2}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\]
Ответ:
\[
\overrightarrow{DO} = -0,25 \vec{b} + 0,75 \vec{a}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.