ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 787 Атанасян — Подробные Ответы

Точка \(O\) — середина медианы \(EG\) треугольника \(DEF\). Выразите вектор \(\vec{DO}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{ED}\) и \(\vec{b} = \vec{EF}\).

Дано: \(\Delta DEF\), \(EG\) — медиана, \(EO = OG\), \(\vec{a} = \overrightarrow{ED}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{EF}\).

1. Находим \(\overrightarrow{DF}\):
\(
\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EF} — \overrightarrow{ED} = \vec{b} — \vec{a}.
\)

2. Находим \(\overrightarrow{GE}\):
\(
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DF} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}),
\)
\(
\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) + \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\)

3. Находим \(\overrightarrow{DO}\):
\(
\overrightarrow{DG} = -\overrightarrow{GD} = -\frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a},
\)
\(
\overrightarrow{GO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} \right) = \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a},
\)
\(
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\)

Приводим подобные:
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\)

Ответ:
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\)

Дано:
\(\Delta DEF\), \(EG\) — медиана, \(EO = OG\), \(\vec{a} = \overrightarrow{ED}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{EF}\).

Требуется выразить \(\overrightarrow{DO}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Решение:

1. Сначала найдем \(\overrightarrow{DF}\).
По условию треугольника \(\Delta DEF\), выполняется равенство:
\(
\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF}.
\)
Отсюда:
\(
\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EF} — \overrightarrow{ED}.
\)
Подставляем значения векторов:
\(
\overrightarrow{DF} = \vec{b} — \vec{a}.
\)

2. Точка \(G\) является серединой отрезка \(DF\). Следовательно, ее радиус-вектор определяется как:
\(
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DF}.
\)
Подставляем значение \(\overrightarrow{DF}\):
\(
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}).
\)

Теперь найдем радиус-вектор точки \(G\) относительно точки \(E\):
\(
\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DE}.
\)
Подставляем значения:
\(
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) + \vec{a}.
\)
Раскрываем скобки:
\(
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a}.
\)
Приводим подобные:
\(
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\)

3. Точка \(O\) является серединой отрезка \(EG\). Следовательно, ее радиус-вектор относительно точки \(E\) равен:
\(
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GE}.
\)
Подставляем значение \(\overrightarrow{GE}\):
\(
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} \right).
\)
Выполняем умножение:
\(
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\)

4. Теперь найдем радиус-вектор точки \(O\) относительно точки \(D\):
\(
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GO}.
\)
Так как \(\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{EO}\), имеем:
\(
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{EO}.
\)
Подставляем значение \(\overrightarrow{DG}\):
\(
\overrightarrow{DG} = -\overrightarrow{GD}.
\)
Отсюда:
\(
\overrightarrow{DG} = -\frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\)
Подставляем значения \(\overrightarrow{DG}\) и \(\overrightarrow{EO}\) в формулу для \(\overrightarrow{DO}\):
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\)
Приводим подобные:
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\)
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{2}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{2}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\)
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\)

Ответ:
\(
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\)