Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 781 Атанасян — Подробные Ответы
Пусть \(\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}\), \(\vec{y} = \vec{m} — \vec{n}\). Выразите через \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) векторы:
а) \(2\vec{x} — 2\vec{y}\);
б) \(2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}\);
в) \(-\vec{x} — \frac{1}{3}\vec{y}\).
Дано:
\( x = \vec{m} + \vec{n} \),
\( y = \vec{m} — \vec{n} \).
Выразить:
а) \( 2x — 2y \),
б) \( 2x + \frac{1}{2}y \),
в) \( -x — \frac{2}{3}y \).
Решение:
а)
\[ 2x — 2y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) — 2 \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = 2\vec{m} + 2\vec{n} — 2\vec{m} + 2\vec{n} = 4\vec{n}. \]
б)
\[ 2x + \frac{1}{2}y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2} \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = 2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} — \frac{1}{2}\vec{n} = 2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m} + 2\vec{n} — \frac{1}{2}\vec{n} = 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n}. \]
в)
\[ -x — \frac{2}{3}y = -(\vec{m} + \vec{n}) — \frac{2}{3} \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = -\vec{m} — \vec{n} — \frac{2}{3}\vec{m} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m} — \vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\frac{3}{3}\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m} — \frac{3}{3}\vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n}. \]
Ответ:
а) \( 4\vec{n} \),
б) \( 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n} \),
в) \( -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n} \).
Дано:
\( x = \vec{m} + \vec{n} \),
\( y = \vec{m} — \vec{n} \).
Выразить:
а) \( 2x — 2y \),
б) \( 2x + \frac{1}{2}y \),
в) \( -x — \frac{2}{3}y \).
Решение:
а) Найдем \( 2x — 2y \):
Подставим выражения для \( x \) и \( y \):
\[ 2x — 2y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) — 2 \cdot (\vec{m} — \vec{n}). \]
Раскроем скобки:
\[ 2x — 2y = 2\vec{m} + 2\vec{n} — 2\vec{m} + 2\vec{n}. \]
Сгруппируем одинаковые слагаемые:
\[ 2x — 2y = (2\vec{m} — 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0 + 4\vec{n}. \]
Получаем:
\[ 2x — 2y = 4\vec{n}. \]
б) Найдем \( 2x + \frac{1}{2}y \):
Подставим выражения для \( x \) и \( y \):
\[ 2x + \frac{1}{2}y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2} \cdot (\vec{m} — \vec{n}). \]
Раскроем скобки:
\[ 2x + \frac{1}{2}y = 2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} — \frac{1}{2}\vec{n}. \]
Сгруппируем одинаковые слагаемые:
\[ 2x + \frac{1}{2}y = (2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} — \frac{1}{2}\vec{n}). \]
Выполним сложение коэффициентов:
\[ 2x + \frac{1}{2}y = \left(2 + \frac{1}{2}\right)\vec{m} + \left(2 — \frac{1}{2}\right)\vec{n}. \]
Приведем к общему виду:
\[ 2x + \frac{1}{2}y = \frac{4}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m} + \frac{4}{2}\vec{n} — \frac{1}{2}\vec{n} = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}. \]
Представим в виде смешанных чисел:
\[ 2x + \frac{1}{2}y = 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n}. \]
в) Найдем \( -x — \frac{2}{3}y \):
Подставим выражения для \( x \) и \( y \):
\[ -x — \frac{2}{3}y = -(\vec{m} + \vec{n}) — \frac{2}{3} \cdot (\vec{m} — \vec{n}). \]
Раскроем скобки:
\[ -x — \frac{2}{3}y = -\vec{m} — \vec{n} — \frac{2}{3}\vec{m} + \frac{2}{3}\vec{n}. \]
Сгруппируем одинаковые слагаемые:
\[ -x — \frac{2}{3}y = (-\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n}). \]
Выполним сложение коэффициентов:
\[ -x — \frac{2}{3}y = \left(-1 — \frac{2}{3}\right)\vec{m} + \left(-1 + \frac{2}{3}\right)\vec{n}. \]
Приведем к общему виду:
\[ -x — \frac{2}{3}y = -\frac{3}{3}\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m} — \frac{3}{3}\vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n}. \]
Ответ:
а) \( 4\vec{n} \),
б) \( 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n} \),
в) \( -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.