ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 781 Атанасян — Подробные Ответы

Пусть \(\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}\), \(\vec{y} = \vec{m} — \vec{n}\). Выразите через \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) векторы:  

а) \(2\vec{x} — 2\vec{y}\);  

б) \(2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}\);  

в) \(-\vec{x} — \frac{1}{3}\vec{y}\).

Дано:
\( x = \vec{m} + \vec{n} \),
\( y = \vec{m} — \vec{n} \).

Выразить:
а) \( 2x — 2y \),
б) \( 2x + \frac{1}{2}y \),
в) \( -x — \frac{2}{3}y \).

Решение:

а) \( 2x — 2y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) — 2 \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = 2\vec{m} + 2\vec{n} — 2\vec{m} + 2\vec{n} = 4\vec{n}. \)

б) \( 2x + \frac{1}{2}y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2} \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = 2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} — \frac{1}{2}\vec{n} = \)
\(=2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m} + 2\vec{n} — \frac{1}{2}\vec{n} = 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n}. \)

в) \( -x — \frac{2}{3}y = -(\vec{m} + \vec{n}) — \frac{2}{3} \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = -\vec{m} — \vec{n} — \frac{2}{3}\vec{m} + \frac{2}{3}\vec{n} =\)
\(=-\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m} — \vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\frac{3}{3}\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m} — \frac{3}{3}\vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n}. \)

Ответ:
а) \( 4\vec{n} \),
б) \( 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n} \),
в) \( -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n} \).

Дано:
\( x = \vec{m} + \vec{n} \),
\( y = \vec{m} — \vec{n} \).

Выразить:
а) \( 2x — 2y \),
б) \( 2x + \frac{1}{2}y \),
в) \( -x — \frac{2}{3}y \).

Решение:

а) Найдем \( 2x — 2y \):
Подставим выражения для \( x \) и \( y \):
\( 2x — 2y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) — 2 \cdot (\vec{m} — \vec{n}). \)
Раскроем скобки:
\( 2x — 2y = 2\vec{m} + 2\vec{n} — 2\vec{m} + 2\vec{n}. \)
Сгруппируем одинаковые слагаемые:
\( 2x — 2y = (2\vec{m} — 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0 + 4\vec{n}. \)
Получаем:
\( 2x — 2y = 4\vec{n}. \)

б) Найдем \( 2x + \frac{1}{2}y \):
Подставим выражения для \( x \) и \( y \):
\( 2x + \frac{1}{2}y = 2 \cdot (\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2} \cdot (\vec{m} — \vec{n}). \)
Раскроем скобки:
\( 2x + \frac{1}{2}y = 2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} — \frac{1}{2}\vec{n}. \)
Сгруппируем одинаковые слагаемые:
\( 2x + \frac{1}{2}y = (2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} — \frac{1}{2}\vec{n}). \)
Выполним сложение коэффициентов:
\( 2x + \frac{1}{2}y = \left(2 + \frac{1}{2}\right)\vec{m} + \left(2 — \frac{1}{2}\right)\vec{n}. \)
Приведем к общему виду:
\( 2x + \frac{1}{2}y = \frac{4}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m} + \frac{4}{2}\vec{n} — \frac{1}{2}\vec{n} = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}. \)
Представим в виде смешанных чисел:
\( 2x + \frac{1}{2}y = 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n}. \)

в) Найдем \( -x — \frac{2}{3}y \):
Подставим выражения для \( x \) и \( y \):
\( -x — \frac{2}{3}y = -(\vec{m} + \vec{n}) — \frac{2}{3} \cdot (\vec{m} — \vec{n}). \)
Раскроем скобки:
\( -x — \frac{2}{3}y = -\vec{m} — \vec{n} — \frac{2}{3}\vec{m} + \frac{2}{3}\vec{n}. \)
Сгруппируем одинаковые слагаемые:
\( -x — \frac{2}{3}y = (-\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n}). \)
Выполним сложение коэффициентов:
\( -x — \frac{2}{3}y = \left(-1 — \frac{2}{3}\right)\vec{m} + \left(-1 + \frac{2}{3}\right)\vec{n}. \)
Приведем к общему виду:
\( -x — \frac{2}{3}y = -\frac{3}{3}\vec{m} — \frac{2}{3}\vec{m} — \frac{3}{3}\vec{n} + \frac{2}{3}\vec{n} = -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n}. \)

Ответ:
а) \( 4\vec{n} \),
б) \( 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n} \),
в) \( -\frac{5}{3}\vec{m} — \frac{1}{3}\vec{n} \).