Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1021 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Дано: ABCD — параллелограмм. Необходимо доказать, что площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\).
Решение:
1. Площадь параллелограмма равна сумме площадей \(\triangle ABD\) и \(\triangle BCD\):
\( S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} \)
2. Площадь \(\triangle ABD\) вычисляется по формуле:
\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)
3. Площадь \(\triangle BCD\) вычисляется по формуле:
\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle C \)
4. Для параллелограмма ABCD: \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(\angle A = \angle C\). Подставим эти значения:
\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)
5. Сложим площади:
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)
6. Упростим:
\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)
Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна \(AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\).
Доказательство того, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:
1. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с углом \(\angle A\) между сторонами \(AB\) и \(AD\).
2. Разделим параллелограмм на два треугольника, проведя диагональ \(AC\).
3. Площадь треугольника \(ABD\) можно выразить через стороны и угол между ними:
\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)
4. Площадь треугольника \(BCD\) также выражается через стороны и угол:
\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle C \)
Но так как \(AB = CD\), \(BC = AD\) и \(\angle A = \angle C\) для параллелограмма, то:
\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)
5. Сложим площади треугольников для получения площади параллелограмма:
\( S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)
6. Упростим выражение:
\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)
Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.