Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 990 Атанасян — Подробные Ответы
Даны векторы \(\vec{a} \{3; 4\}\), \(\vec{b} \{6; -8\}\), \(\vec{c} \{1; 5\}\).
а) Найдите координаты векторов \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{q} = \vec{b} + \vec{c}\), \(\vec{r} = 2\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}\), \(\vec{s} = \vec{a} — \vec{b} — \vec{c}\).
б) Найдите \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\), \(|\vec{p}|\), \(|\vec{q}|\).
Рассмотрим краткое решение задачи.
1. Координаты векторов:
Вектор \(\vec{a} = \{3; 4\}\), вектор \(\vec{b} = \{6; -8\}\), вектор \(\vec{c} = \{1; 5\}\).
Вектор \(\vec{p}\):
\(
\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} = \{3; 4\} + \{6; -8\} = \{9; -4\}
\)
Вектор \(\vec{q}\):
\(
\vec{q} = \vec{b} + \vec{c} = \{6; -8\} + \{1; 5\} = \{7; -3\}
\)
Вектор \(\vec{r}\):
\(
\vec{r} = 2\vec{a} — \vec{b} + \vec{c} = 2\{3; 4\} — \{6; -8\} + \{1; 5\} = \{1; 21\}
\)
Вектор \(\vec{s}\):
\(
\vec{s} = \vec{a} — \vec{b} — \vec{c} = \{3; 4\} — \{6; -8\} — \{1; 5\} = \{-4; 7\}
\)
2. Длины векторов:
Длина вектора \(\vec{a}\):
\(
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\)
Длина вектора \(\vec{b}\):
\(
|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10
\)
Длина вектора \(\vec{p}\):
\(
|\vec{p}| = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{97} \approx 9,85
\)
Длина вектора \(\vec{q}\):
\(
|\vec{q}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{58} \approx 7,62
\)
Это краткое решение задачи.
Давайте подробно разберем решение задачи, используя данные из изображения.
1. Найдем координаты векторов \(\vec{p}\), \(\vec{q}\), \(\vec{r}\) и \(\vec{s}\).
Вектор \(\vec{a} = \{3; 4\}\), вектор \(\vec{b} = \{6; -8\}\), вектор \(\vec{c} = \{1; 5\}\).
Вектор \(\vec{p}\) вычисляется как сумма векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\(
\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} = \{3; 4\} + \{6; -8\} = \{3 + 6; 4 — 8\} = \{9; -4\}
\)
Вектор \(\vec{q}\) вычисляется как сумма векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
\(
\vec{q} = \vec{b} + \vec{c} = \{6; -8\} + \{1; 5\} = \{6 + 1; -8 + 5\} = \{7; -3\}
\)
Вектор \(\vec{r}\) вычисляется по формуле \(2\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}\):
\(
\vec{r} = 2\vec{a} — \vec{b} + \vec{c} = 2\{3; 4\} — \{6; -8\} + \{1; 5\}
\)
\(
= \{6; 8\} — \{6; -8\} + \{1; 5\} = \{6 — 6; 8 + 8\} + \{1; 5\} = \{0; 16\} + \{1; 5\}\)=
\( = \{1; 21\}
\)
Вектор \(\vec{s}\) вычисляется по формуле \(\vec{a} — \vec{b} — \vec{c}\):
\(
\vec{s} = \vec{a} — \vec{b} — \vec{c} = \{3; 4\} — \{6; -8\} — \{1; 5\}
\)
\(
= \{3 — 6; 4 + 8\} — \{1; 5\} = \{-3; 12\} — \{1; 5\} = \{-3 — 1; 12 — 5\} = \)
\(=\{-4; 7\}
\)
2. Найдем длины векторов \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\), \(|\vec{p}|\) и \(|\vec{q}|\).
Длина вектора \(\vec{a}\):
\(
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\)
Длина вектора \(\vec{b}\):
\(
|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\)
Длина вектора \(\vec{p}\):
\(
|\vec{p}| = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}
\)
Длина вектора \(\vec{q}\):
\(
|\vec{q}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}
\)
Это полное решение задачи с подробным объяснением всех шагов.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.