ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 972 Атанасян — Подробные Ответы

Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
а) А (1; -1) и В (-3; 2);
б) С (2; 5) и D (5; 2);
в) М (0; 1) и N (-4; -5).

Решение:
а) Уравнение прямой AB имеет вид \( ax + by + c = 0 \). Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:
\( a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = 0 \), \( a \cdot (-3) + b \cdot 2 + c = 0 \), или \( a — b + c = 0 \), \( -3a + 2b + c = 0 \).

Из этих уравнений выразим коэффициенты \( a \) и \( b \) через \( c \):
\( a = 3c \),
\( b = 4c \).

Подставив эти значения в уравнение прямой, получим:
\( 3c \cdot x + 4c \cdot y + c = 0 \).

При любом \( c \neq 0 \) это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на \( c \), запишем искомое уравнение в виде:
\( 3x + 4y + 1 = 0 \).

Для уравнения прямой, проходящей через точки A (1; -1) и B (-3; 2), решение выглядит следующим образом:

1. Уравнение прямой: \( ax + by + c = 0 \).
2. Подстановка координат точек A и B:
\( a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = 0 \), \( a \cdot (-3) + b \cdot 2 + c = 0 \).
3. Упрощение уравнений:
\( a — b + c = 0 \), \( -3a + 2b + c = 0 \).
4. Выражение коэффициентов через \( c \):
\( a = 3c \), \( b = 4c \).
5. Подстановка в уравнение прямой:
\( 3c \cdot x + 4c \cdot y + c = 0 \).
6. Упрощение уравнения:
\( 3x + 4y + 1 = 0 \).

Ответ: уравнение прямой AB: \( 3x + 4y + 1 = 0 \).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки A (1; -1) и B (-3; 2), выполним следующие шаги:

1. Общий вид уравнения прямой:
Уравнение прямой в общем виде записывается как \( ax + by + c = 0 \), где \( a \), \( b \), \( c \) — коэффициенты, которые необходимо найти.

2. Подстановка координат точек:
Поскольку точки A и B лежат на прямой, их координаты удовлетворяют уравнению. Подставим координаты точки A (1; -1): \( a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = 0 \), что упрощается до \( a — b + c = 0 \).

Подставим координаты точки B (-3; 2):
\( a \cdot (-3) + b \cdot 2 + c = 0 \), что упрощается до \( -3a + 2b + c = 0 \).

3. Составление системы уравнений:
Получаем систему из двух уравнений: \(
\begin{cases}
a — b + c = 0, \\
-3a + 2b + c = 0.
\end{cases}
\)

4. Решение системы уравнений:
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить \( c \): \( (-3a + 2b + c) — (a — b + c) = 0 \),
что упрощается до \( -4a + 3b = 0 \).
Отсюда выразим \( a \) через \( b \):
\( a = \frac{3}{4}b \).

Подставим \( a = \frac{3}{4}b \) в первое уравнение: \( \frac{3}{4}b — b + c = 0 \),
что упрощается до \( -\frac{1}{4}b + c = 0 \).
Отсюда выразим \( c \) через \( b \):
\( c = \frac{1}{4}b \).

5. Выбор коэффициента \( b \): Для упрощения выберем \( b = 4 \). Тогда:
\( a = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \),
\( c = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \).

6. Запись уравнения прямой: Подставим найденные коэффициенты в общее уравнение:
\( 3x + 4y + 1 = 0 \).

7. Проверка:
Подставим координаты точки A (1; -1): \( 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 1 = 3 — 4 + 1 = 0 \).
Подставим координаты точки B (-3; 2): \( 3 \cdot (-3) + 4 \cdot 2 + 1 = -9 + 8 + 1 = 0 \).
Оба равенства выполняются, что подтверждает правильность решения.

Ответ: уравнение прямой AB: \( 3x + 4y + 1 = 0 \).