ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 888 Атанасян — Подробные Ответы

Из вершины \( B \) треугольника \( ABC \) проведены высота \( BH \) и биссектриса угла \( B \), которая пересекает в точке \( E \) описанную около треугольника окружность с центром \( O \). Докажите, что луч \( BE \) является биссектрисой угла \( OBH \).  

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \), \( BH \perp AC \), \( \angle ABE = \angle EBC \).
Требуется доказать: \( \angle OBE = \angle HBE \).

Решение:
1) Пусть \( \angle BCA = \alpha \), \( \angle ABE = \angle EBC = \beta \), тогда \( \angle AOB = 2\alpha \).

2) Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \), который является равнобедренным.
Угол при вершине \( A \):
\(
\angle ABO = \frac{1}{2} (180^\circ — \angle AOB) = 90^\circ — \frac{1}{2} \angle AOB = 90^\circ — \alpha.
\)

3) Найдём угол \( \angle OBE \):
\(
\angle OBE = \angle ABE — \angle ABO = \beta — (90^\circ — \alpha) = \alpha + \beta — 90^\circ.
\)

4) Найдём угол \( \angle HBE \):
\(
\angle HBE = \angle EBC — \angle HBC = \beta — (90^\circ — \alpha) = \alpha + \beta — 90^\circ.
\)

5) Таким образом, \( \angle OBE = \angle HBE \), что и требовалось доказать.

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \), высота \( BH \perp AC \), углы \( \angle ABE = \angle EBC \).
Требуется доказать: \( \angle OBE = \angle HBE \).

Решение:

1) Пусть \( \angle BCA = \alpha \), \( \angle ABE = \angle EBC = \beta \). Тогда угол \( \angle AOB \), образованный дугой \( AB \), равен удвоенному углу \( \angle BCA \), то есть \( \angle AOB = 2\alpha \).

2) Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \), который является равнобедренным (так как точки \( A \), \( B \), \( O \) лежат на окружности, а \( O \) — центр окружности).
Углы при основании равны. Найдём угол \( \angle ABO \):
\(
\angle ABO = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ — \angle AOB).
\)
Подставим значение \( \angle AOB \):
\(
\angle ABO = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ — 2\alpha) = 90^\circ — \alpha.
\)

3) Найдём угол \( \angle OBE \).
Угол \( \angle OBE \) выражается через разность углов \( \angle ABE \) и \( \angle ABO \):
\(
\angle OBE = \angle ABE — \angle ABO.
\)
Подставим значения:
\(
\angle OBE = \beta — (90^\circ — \alpha) = \beta + \alpha — 90^\circ.
\)

4) Найдём угол \( \angle HBE \).
Угол \( \angle HBE \) выражается через разность углов \( \angle EBC \) и \( \angle HBC \):
\(
\angle HBE = \angle EBC — \angle HBC.
\)
Так как \( \angle EBC = \beta \), а \( \angle HBC = 90^\circ — \alpha \) (высота \( BH \) делит угол \( \angle BCA \) пополам), то:
\(
\angle HBE = \beta — (90^\circ — \alpha) = \beta + \alpha — 90^\circ.
\)

5) Таким образом, \( \angle OBE = \angle HBE \), что и требовалось доказать.