Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 874 Атанасян — Подробные Ответы
Постройте треугольник по трём высотам.
Дано: отрезки \(a, b, c\). Построить \(\triangle ABC\), где \(AA_1 = a\), \(BB_1 = b\), \(CC_1 = c\) — высоты.
Решение:
1. По методу пропорциональных отрезков строим отрезок \(y = \frac{ac}{b}\).
2. Проводим прямую \(f\), выбираем на ней точку \(A_2\) и откладываем отрезок \(A_2C_2 = y\).
3. Строим две окружности:
— первая с центром в \(A_2\) и радиусом \(a\),
— вторая с центром в \(C_2\) и радиусом \(c\).
Отмечаем точку пересечения окружностей \(B = O_1 \cap O_2\). Треугольник \(A_2BC_2\) построен.
4. Опускаем перпендикуляр \(BB_2\) на \(A_2C_2\), где \(B_2 \in A_2C_2\). На луче \(BB_2\) откладываем отрезок \(BB_1 = b\).
5. Через точку \(B_1\) проводим прямую \(AC \parallel A_2C_2\) и отмечаем точки пересечения:
— \(A = AC \cap A_2B\),
— \(C = AC \cap BC_2\).
Треугольник \(\triangle ABC\) построен.
Анализ: задача имеет решение, если существует треугольник со сторонами \(c, a, \frac{ac}{b}\).
Дано: отрезки \(a, b, c\). Требуется построить треугольник \(\triangle ABC\), где \(AA_1 = a\), \(BB_1 = b\), \(CC_1 = c\) — высоты.
Решение:
1. По методу пропорциональных отрезков строим отрезок \(y = \frac{ac}{b}\). Для этого используем линейку и циркуль. Например, если \(a = 6\), \(b = 4\), \(c = 8\), то \(y = \frac{6 \cdot 8}{4} = 12\).
2. Проводим прямую \(f\), на которой выбираем произвольную точку \(A_2\). С помощью линейки откладываем отрезок \(A_2C_2 = y\). Например, если \(y = 12\), то отрезок \(A_2C_2\) равен 12 единицам длины.
3. Строим две окружности:
— первая окружность с центром в точке \(A_2\) и радиусом \(a\),
— вторая окружность с центром в точке \(C_2\) и радиусом \(c\).
Для построения используем циркуль. Радиусы окружностей равны длинам \(a\) и \(c\) соответственно. Например, если \(a = 6\) и \(c = 8\), то радиусы окружностей составляют 6 и 8 единиц длины.
Отмечаем точку пересечения этих окружностей и обозначаем её как \(B\). Точка \(B\) принадлежит обеим окружностям, так как расстояния \(A_2B = a\) и \(C_2B = c\).
4. Опускаем перпендикуляр \(BB_2\) на отрезок \(A_2C_2\). Для этого проводим прямую, перпендикулярную \(A_2C_2\), из точки \(B\), и отмечаем точку пересечения \(B_2\), где \(B_2 \in A_2C_2\). Затем на луче \(BB_2\) откладываем отрезок \(BB_1 = b\). Например, если \(b = 4\), то длина отрезка \(BB_1\) составляет 4 единицы.
5. Через точку \(B_1\) проводим прямую \(AC\), параллельную отрезку \(A_2C_2\). Для этого используем линейку и чертим прямую, проходящую через \(B_1\) и параллельную \(A_2C_2\).
Отмечаем точки пересечения:
— \(A = AC \cap A_2B\),
— \(C = AC \cap BC_2\).
Эти точки \(A\) и \(C\) определяют вершины треугольника \(\triangle ABC\).
Треугольник \(\triangle ABC\) построен. Его стороны \(AB\), \(BC\), \(AC\) соответствуют заданным условиям, а высоты \(AA_1 = a\), \(BB_1 = b\), \(CC_1 = c\).
Анализ: задача имеет решение, если возможно построить треугольник со сторонами \(c, a, \frac{ac}{b}\). Это условие выполняется, если сумма любых двух сторон больше третьей, то есть:
1. \(a + c > \frac{ac}{b}\),
2. \(a + \frac{ac}{b} > c\),
3. \(c + \frac{ac}{b} > a\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.