ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 834 Атанасян — Подробные Ответы

Диагонали трапеции \( ABCD \) с основаниями \( BC \) и \( AD \) пересекаются в точке \( O \). Площади треугольников \( BOC \) и \( AOD \) равны \( S_1 \) и \( S_2 \). Найдите площадь трапеции.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\), \(O = AC \cap BD\), площади треугольников \(S_{BOC} = S_1\) и \(S_{AOD} = S_2\). Требуется найти площадь \(S_{ABCD}\).

1. Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны по двум углам: \(\angle BOC = \angle DOA\) (как вертикальные), \(\angle CBO = \angle ADO\) (как накрест лежащие, так как \(AD \parallel BC\)).

2. Коэффициент подобия треугольников:
\(
k^2 = \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{S_1}{S_2}, \quad k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.
\)

3. Площади дополнительных частей трапеции:
\(
S_{DAO} = S_2, \quad S_{DCO} = k \cdot S_{DAO} = k \cdot S_2, \)
\(\quad S_{DAC} = S_{DAO} + S_{DCO} = (1 + k) \cdot S_2.
\)
\(
S_{BAO} = \frac{S_{AOD}}{k} = \frac{S_2}{k}, \quad S_{BCO} = S_1, \)
\(\quad S_{BAC} = S_{BAO} + S_{BCO} = \frac{S_2}{k} + S_1 = \left(\frac{1}{k} + 1\right) \cdot S_1.
\)

4. Общая площадь трапеции:
\(
S_{ABCD} = S_{DAC} + S_{BAC} = (1 + k) \cdot S_2 + \left(\frac{1}{k} + 1\right) \cdot S_1.
\)

5. Приведем выражение к общему виду:
\(
S_{ABCD} = S_2 + k \cdot S_2 + \frac{S_1}{k} + S_1 = S_1 + S_2 + k \cdot S_2 + \frac{S_1}{k}.
\)

6. Упростим:
\(
S_{ABCD} = S_1 + S_2 + \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} \cdot S_2 + \frac{S_1}{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}}.
\)

7. Итоговый результат:
\(
S_{ABCD} = \left(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}\right)^2.
\)

Ответ: \(S_{ABCD} = \left(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}\right)^2\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\), \(O = AC \cap BD\). Даны площади треугольников \(S_{BOC} = S_1\) и \(S_{AOD} = S_2\). Требуется найти площадь трапеции \(S_{ABCD}\).

1. Рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(DOA\). Они подобны по двум углам:
\(
\angle BOC = \angle DOA \text{ (как вертикальные углы)}, \quad \angle CBO = \angle ADO \)
\(\text{ (как накрест лежащие углы, так как \(AD \parallel BC\))}.
\)

2. Коэффициент подобия треугольников \(BOC\) и \(DOA\) равен:
\(
k^2 = \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{S_1}{S_2}, \quad k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.
\)

3. Найдем площади частей трапеции:
— Площадь треугольника \(DAO\) равна:
\(
S_{DAO} = S_2.
\)
— Площадь треугольника \(DCO\) равна:
\(
S_{DCO} = k \cdot S_{DAO} = k \cdot S_2.
\)
— Площадь треугольника \(DAC\) равна:
\(
S_{DAC} = S_{DAO} + S_{DCO} = S_2 + k \cdot S_2 = (1 + k) \cdot S_2.
\)
— Площадь треугольника \(BAO\) равна:
\(
S_{BAO} = \frac{S_{AOD}}{k} = \frac{S_2}{k}.
\)
— Площадь треугольника \(BCO\) равна:
\(
S_{BCO} = S_1.
\)
— Площадь треугольника \(BAC\) равна:
\(
S_{BAC} = S_{BAO} + S_{BCO} = \frac{S_2}{k} + S_1 = \left(\frac{1}{k} + 1\right) \cdot S_1.
\)

4. Теперь найдем площадь трапеции \(ABCD\):
\(
S_{ABCD} = S_{DAC} + S_{BAC}.
\)
Подставим найденные выражения:
\(
S_{ABCD} = (1 + k) \cdot S_2 + \left(\frac{1}{k} + 1\right) \cdot S_1.
\)

5. Приведем выражение к общему виду:
\(
S_{ABCD} = S_2 + k \cdot S_2 + \frac{S_1}{k} + S_1.
\)

6. Упростим выражение, используя \(k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\):
\(
S_{ABCD} = S_1 + S_2 + \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} \cdot S_2 + \frac{S_1}{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}}.
\)

7. Упростим последний член:
\(
\frac{S_1}{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}} = \sqrt{S_1 \cdot S_2}.
\)

8. Получаем:
\(
S_{ABCD} = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} + \sqrt{S_1 \cdot S_2}.
\)

9. Итоговое выражение:
\(
S_{ABCD} = S_1 + S_2 + 2 \cdot \sqrt{S_1 \cdot S_2}.
\)

10. Представим результат в виде полного квадрата:
\(
S_{ABCD} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2.
\)

Ответ:
\(
S_{ABCD} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2.
\)