Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 810 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(\angle MBO = \angle OBC\), \(\angle MAO = \angle OAD\); \(BO \perp OA = O\). \(MN\) — средняя линия. Требуется доказать: \(O \in MN\).
Решение:
1. По теореме о биссектрисе неразвернутого угла, любая точка биссектрисы равноудалена от её сторон. Следовательно:
\(
OF \perp BC, \, OF \perp AB, \, OH \perp AD.
\)
2. Точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(ABC\), поэтому:
\(
OF = EO.
\)
3. Точка \(O\) также лежит на биссектрисе угла \(BAD\), следовательно:
\(
EO = OH.
\)
4. Из пункта 2 имеем:
\(
OF = EO.
\)
Из пункта 3 имеем:
\(
EO = OH.
\)
Так как средняя линия трапеции равноудалена от её оснований, то:
\(
OF = OH.
\)
Следовательно, \(O \in MN\). Что и требовалось доказать.
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(\angle MBO = \angle OBC\), \(\angle MAO = \angle OAD\), \(BO \perp OA = O\). \(MN\) — средняя линия. Требуется доказать: \(O \in MN\).
Решение:
1. Рассмотрим свойства биссектрисы угла. По теореме о биссектрисе неразвернутого угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от её сторон. Это означает, что расстояния от точки \(O\) до сторон углов равны. Для угла \(ABC\) это расстояния \(OF\) и \(EO\), а для угла \(BAD\) это расстояния \(EO\) и \(OH\). Следовательно:
\(
OF = EO \quad \text{и} \quad EO = OH.
\)
2. Докажем, что точка \(O\) равноудалена от оснований трапеции \(AB\) и \(CD\). Из пункта 1 следует, что:
\(
OF = OH.
\)
3. Средняя линия \(MN\) трапеции определяется как геометрическое место точек, равноудалённых от оснований трапеции. Поскольку \(O\) равноудалена от оснований \(AB\) и \(CD\), то точка \(O\) принадлежит средней линии \(MN\).
4. Распишем это подробно:
а) Точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(ABC\), поэтому по свойству биссектрисы:
\(
OF = EO.
\)
б) Точка \(O\) также лежит на биссектрисе угла \(BAD\), следовательно:
\(
EO = OH.
\)
в) Из равенств \(OF = EO\) и \(EO = OH\) следует, что:
\(
OF = OH.
\)
5. Так как средняя линия \(MN\) трапеции равноудалена от её оснований \(AB\) и \(CD\), а точка \(O\) удовлетворяет этому условию (\(OF = OH\)), то:
\(
O \in MN.
\)
Ответ: доказано, что точка \(O\) лежит на средней линии \(MN\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.