Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 780 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что для любого вектора \(\vec{a}\) справедливы равенства:
а) \(1 \cdot \vec{a} = \vec{a}\);
б) \((-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}\).
Решение задачи №780 из учебника Атанасяна:
Дано:
\( \vec{a} \) — любой вектор.
Доказать:
а) \( 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \),
б) \( (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a} \).
Доказательство:
а) \( |1 \cdot \vec{a}| = |1| \cdot |\vec{a}| \), так как \( 1 > 0 \), то направление \( 1 \cdot \vec{a} \) совпадает с направлением \( \vec{a} \). Следовательно, \( 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \) (по определению равных векторов).
б) \( |-1 \cdot \vec{a}| = |-1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}| \), так как \( -1 < 0 \), то направление \( (-1) \cdot \vec{a} \) противоположно направлению \( \vec{a} \). Следовательно, \( (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a} \) (по определению равных векторов).
Дано:
\( \vec{a} \) — любой вектор.
Требуется доказать:
1) \( 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \),
2) \( (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a} \).
Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.
1. Доказательство того, что \( 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \):
По определению модуля произведения числа на вектор, модуль вектора \( 1 \cdot \vec{a} \) равен произведению модуля числа \( 1 \) на модуль вектора \( \vec{a} \):
\[ |1 \cdot \vec{a}| = |1| \cdot |\vec{a}|. \]
Так как модуль числа \( 1 \) равен \( 1 \), то:
\[ |1 \cdot \vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|. \]
Направление вектора \( 1 \cdot \vec{a} \) совпадает с направлением вектора \( \vec{a} \), так как число \( 1 > 0 \).
Следовательно, по определению равных векторов, вектор \( 1 \cdot \vec{a} \) равен вектору \( \vec{a} \):
\[ 1 \cdot \vec{a} = \vec{a}. \]
2. Доказательство того, что \( (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a} \):
По определению модуля произведения числа на вектор, модуль вектора \( (-1) \cdot \vec{a} \) равен произведению модуля числа \( -1 \) на модуль вектора \( \vec{a} \):
\[ |(-1) \cdot \vec{a}| = |-1| \cdot |\vec{a}|. \]
Так как модуль числа \( -1 \) равен \( 1 \), то:
\[ |(-1) \cdot \vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|. \]
Направление вектора \( (-1) \cdot \vec{a} \) противоположно направлению вектора \( \vec{a} \), так как число \( -1 < 0 \).
Следовательно, по определению противоположных векторов, вектор \( (-1) \cdot \vec{a} \) равен вектору \( -\vec{a} \):
\[ (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}. \]
Итак, оба утверждения доказаны.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.