ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1305 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

Рассмотрим сечения куба со стороной \(a\). В кубе можно построить три типа правильных многоугольников: треугольник, квадрат и шестиугольник.

Для правильного треугольника возьмём вершины \(A\), \(D_1\) и \(C\). Все стороны равны диагонали грани:
\(AD_1 = AC = CD_1 = a\sqrt{2}\).
Углы составляют \(60^\circ\), что соответствует правильному треугольнику.

Квадратное сечение проходит через середины рёбер \(AD\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\). Каждая сторона квадрата равна \(a\), а углы составляют \(90^\circ\).

Правильный шестиугольник образуется при сечении через середины рёбер \(A_1D_1\), \(D_1C_1\), \(CC_1\), \(CB\), \(BA\) и \(AA_1\). Длина каждой стороны равна половине диагонали грани:
\(EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Углы между сторонами составляют \(120^\circ\), что характерно для правильного шестиугольника.

Все построенные сечения удовлетворяют условиям правильности: равные стороны и равные углы. Доказательство основано на вычислении длин отрезков через теорему Пифагора и определении углов с помощью тригонометрических соотношений.

Рассмотрим задачу о сечениях куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром длины \(a\). Докажем существование трёх типов правильных многоугольников в сечении: треугольника, квадрата и шестиугольника.

Правильный треугольник
Сечение проходит через вершины \(A\), \(D_1\) и \(C\). Отрезки \(AD_1\) (грань \(ADD_1A_1\)), \(D_1C\) (грань \(CDD_1C_1\)) и \(AC\) (грань \(ABCD\)) не имеют дополнительных точек пересечения с рёбрами. Длины сторон:
\(
AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}, \quad AC = a\sqrt{2}, \quad CD_1 = a\sqrt{2}
\)
Все стороны равны, углы равны \(60^\circ\) (по свойствам равностороннего треугольника).

Квадрат
Сечение \(EFGH\) проходит через середины рёбер \(AD\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\). Отрезки \(EF\) (параллелен \(AA_1\)), \(FG\) (параллелен \(A_1B_1\)), \(GH\) (параллелен \(BB_1\)) и \(EH\) (параллелен \(AB\)) образуют замкнутую фигуру. Длины:
\(
EF = FG = GH = EH = a
\)
Углы между сторонами прямые:
\(
\angle EFG = \angle FGH = \angle GHE = \angle HEF = 90^\circ
\)

Правильный шестиугольник
Сечение \(EFGHMN\) соединяет середины рёбер \(A_1D_1\), \(D_1C_1\), \(CC_1\), \(CB\), \(BA\) и \(AA_1\). Все стороны равны половине диагонали грани:
\(
EF = FG = GH = HM = MN = NE = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\)
Для доказательства равенства углов вычислим диагональ \(EG\):
\(
EG = \sqrt{ED_1^2 + D_1G^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}
\)

Применяя теорему косинусов к \(\triangle EFG\):
\(
\cos \angle F = \frac{EF^2 + FG^2 — EG^2}{2 \cdot EF \cdot FG} = \frac{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} — \frac{3a^2}{2}}{a^2} = -0.5 \Rightarrow \angle F = 120^\circ
\)

Аналогично все углы шестиугольника равны \(120^\circ\).

Заключение
Построенные сечения удовлетворяют условиям правильности: равные стороны и углы. Для треугольника использованы вершины куба, для квадрата — середины рёбер, для шестиугольника — комбинация середин рёбер и диагоналей граней. Все вычисления подтверждаются через теорему Пифагора и свойства геометрических фигур.