ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1296 Атанасян — Подробные Ответы

Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Дано \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) с условиями:
1) \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C \),
2) \( \angle A — \angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1 \),
3) \( AE = BE \), \( \angle BAE = 2\angle B \), \( \angle EAC = \angle A — 2\angle B \).

Из \( \angle EAC = \angle E_1A_1C_1 \) и \( AC = A_1C_1 \) следует \( \triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1 \) (по стороне и двум углам). Тогда \( AE = A_1E_1 \), \( EC = E_1C_1 \), а значит, \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) по равенству всех сторон и углов.

Доказано.

Рассмотрим задачу поэтапно с полной детализацией. Дано два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), для которых выполняются условия: \( AG < BC \), \( A_1C_1 < B_1C_1 \), \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C \), а также соотношение углов \( \angle A — \angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1 \). Требуется доказать, что \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \).

В \( \triangle ABC \) проведём отрезок \( AD \) так, что \( AD = DB \), и построим \( DE \perp AB \), где \( E \in BC \). Из условия \( BE = AE \) следует, что \( \triangle ABE \) — равнобедренный, поэтому \( \angle BAE = 2\angle B \). Тогда \( \angle EAC = \angle A — 2\angle B \). Аналогично для \( \triangle A_1B_1C_1 \) выполняется \( \angle E_1A_1C_1 = \angle A_1 — 2\angle B_1 \). По условию \( \angle A — 2\angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1 \), значит, \( \angle EAC = \angle E_1A_1C_1 \).

Из равенства сторон \( BC = B_1C_1 \) и разложения \( BC = BE + EC \), \( B_1C_1 = A_1E_1 + E_1C_1 \) следует, что \( AE + EC = A_1E_1 + E_1C_1 \). Поскольку \( \triangle ABE \) равнобедренный, \( AE = BE \), а из подобия и равенства углов \( \angle EAC = \angle E_1A_1C_1 \) и \( AC = A_1C_1 \) вытекает, что \( \triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1 \) по стороне и двум прилежащим углам.

Таким образом, \( AE = A_1E_1 \) и \( EC = E_1C_1 \). Это означает, что соответственные стороны треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) равны, а их углы совпадают, так как \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \), \( \angle C = \angle C_1 \). Следовательно, \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) по трём сторонам и трём углам.

Дополнительно можно рассмотреть отображение \( f: \triangle AEC \rightarrow \triangle A_1E_1C_1 \), которое является изометрией, так как сохраняет длины сторон и величины углов. Это подтверждает, что исходные треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) полностью совмещаются при наложении.

В итоге, все условия задачи приводят к однозначному выводу о равенстве треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), что завершает доказательство.