Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1295 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.
1. \(AG < BC\)
2. \(A_1C_1 < B_1C_1\)
3. \(AC = A_1C_1\)
4. \(BC = B_1C\)
5. \(\angle A — \angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1\)
6. \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\)
7. \(AD = DB\)
8. \(DE \perp AB\)
9. \(E \in BC\)
10. \(BE = AE\)
11. \(\angle BAE = 2\angle B\)
12. \(\angle EAC = \angle A — 2\angle B\)
13. \(\angle EAC = \angle A — 2\angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1 = \angle E_1A_1C_1\)
14. \(AE + EC = BC = B_1C_1 = A_1E_1 + E_1C_1\)
15. \(\angle EAC = \angle E_1A_1C_1\)
16. \(AE = A_1E_1\)
17. \(EC = E_1C_1\)
18. \(\triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1\)
19. \(f: \triangle AEC \rightarrow \triangle A_1E_1C_1\)
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) с условиями:
\(AG < BC\), \(A_1C_1 < B_1C_1\), \(AC = A_1C_1\), \(BC = B_1C\), \(\angle A — \angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1\).
Требуется доказать: \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).
Доказательство начинается с построения в \(\triangle ABC\):
Разделим отрезок \(AB\) пополам, \(AD = DB\), и построим перпендикуляр \(DE \perp AB\) так, что \(E \in BC\).
Отрезок \(DE\) является одновременно медианой и высотой, следовательно, \(\triangle ABE\) равнобедренный: \(BE = AE\).
Из этого следует, что \(\angle BAE = \angle B\), а значит, \(\angle EAC = \angle A — \angle BAE = \angle A — \angle B\).
Аналогичное построение выполняется в \(\triangle A_1B_1C_1\):
\(\angle E_1A_1C_1 = \angle A_1 — \angle B_1A_1E_1 = \angle A_1 — \angle B_1\).
По условию \(\angle A — \angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1\), поэтому \(\angle EAC = \angle E_1A_1C_1\).
Совместим отрезки \(AC\) и \(A_1C_1\) (по условию \(AC = A_1C_1\)).
Так как \(\angle EAC = \angle E_1A_1C_1\) и \(AE + EC = BC = B_1C = A_1E_1 + E_1C_1\), то при наложении отрезки \(AE\) и \(A_1E_1\) совпадут, как и \(EC\) с \(E_1C_1\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle AEC\) и \(\triangle A_1E_1C_1\):
Они равны по трём сторонам (\(AE = A_1E_1\), \(EC = E_1C_1\), \(AC = A_1C_1\)), значит, существует наложение \(f: \triangle AEC \rightarrow \triangle A_1E_1C_1\).
Так как \(BC\) и \(B_1C\) являются продолжениями \(EC\) и \(E_1C_1\) соответственно, они также совпадут при наложении.
Вершины \(B\) и \(B_1\) окажутся в одной точке, так как \(BE = AE = A_1E_1 = B_1E_1\).
Таким образом, все три вершины исходных треугольников совпадают, что доказывает их равенство: \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).
Дополнительные пояснения:
Равенство углов \(\angle EAC = \angle E_1A_1C_1\) обеспечивается условием \(\angle A — \angle B = \angle A_1 — 2\angle B_1\) и построением равнобедренных треугольников.
Совпадение сторон \(AE\) и \(A_1E_1\) следует из равенства сумм \(AE + EC = A_1E_1 + E_1C_1\) и уже доказанного равенства углов.
Наложение треугольников \(\triangle AEC\) и \(\triangle A_1E_1C_1\) гарантирует, что все соответствующие элементы \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) совпадут, включая оставшиеся вершины и стороны.
Заключение:
Исходные треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) полностью равны, что подтверждается совпадением всех их соответствующих элементов при наложении.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.