Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1293 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
Дано: \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограммы, \(AC = A_1C_1\), \(BD = B_1D_1\), \(\angle AOB = \angle A_1O_1B_1\).
Доказательство:
1. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, \(AO = OC = A_1O_1 = O_1C_1\) и \(BO = OD = B_1O_1 = O_1D_1\).
2. \(\triangle AOB \cong \triangle A_1O_1B_1\) по двум сторонам и углу между ними (\(AO = A_1O_1\), \(BO = B_1O_1\), \(\angle AOB = \angle A_1O_1B_1\)).
3. При наложении \(f\) вершины \(A, B, O\) совмещаются с \(A_1, B_1, O_1\), а значит, \(C\) и \(D\) совпадают с \(C_1\) и \(D_1\) (так как диагонали равны).
4. Следовательно, \(ABCD \cong A_1B_1C_1D_1\).
Что и требовалось доказать.
Дано: \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограммы, \(AC = A_1C_1\), \(BD = B_1D_1\), \(\angle AOB = \angle A_1O_1B_1\). Доказать: \(ABCD \cong A_1B_1C_1D_1\).
Доказательство:
Так как \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограммы, их диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO = OC = A_1O_1 = O_1C_1\) и \(BO = OD = B_1O_1 = O_1D_1\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle A_1O_1B_1\):
1. \(AO = A_1O_1\) (по условию \(AC = A_1C_1\) и свойству параллелограмма);
2. \(BO = B_1O_1\) (по условию \(BD = B_1D_1\) и свойству параллелограмма);
3. \(\angle AOB = \angle A_1O_1B_1\) (дано).
По первому признаку равенства треугольников (\(\text{по двум сторонам и углу между ними}\)) \(\triangle AOB \cong \triangle A_1O_1B_1\).
Из равенства треугольников следует, что существует наложение \(f\), при котором \(\triangle AOB\) совмещается с \(\triangle A_1O_1B_1\). При этом:
— вершина \(A\) совмещается с \(A_1\);
— вершина \(B\) совмещается с \(B_1\);
— точка \(O\) совмещается с \(O_1\).
Так как диагонали \(AC\) и \(A_1C_1\) равны, а точка \(O\) делит их пополам, то вершина \(C\) совмещается с \(C_1\). Аналогично, поскольку \(BD = B_1D_1\), вершина \(D\) совмещается с \(D_1\).
Таким образом, все четыре вершины параллелограмма \(ABCD\) совмещаются с вершинами \(A_1B_1C_1D_1\), что означает их полное равенство: \(ABCD \cong A_1B_1C_1D_1\).
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.