ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1284 Атанасян — Подробные Ответы

В данную окружность впишите пятиконечную звезду.

Построить: пятиконечную звезду, вписанную в данную окружность;
Построение:
1) Отметим на окружности какую-нибудь точку Е;
2) Построим диаметр ОЕ;
3) Через точку О проведем перпендикуляр к ОЕ, отметим точку А1 на пересечении данного перпендикуляра и окружности;
4) Отметим точку К на середине отрезка КО;
5) Построим окружность (К; КА1), отметим точку М на пересечении данной окружности и диаметра ЕО;
6) Построим окружность (А1; А1М), отметим точку А2 на пересечении данной окружности с первой;
7) Повторим пункт, отмечая последовательно точки А3, А4 и А5;
8) Точки А1, А2, А3, А4 и А5 — вершины искомой фигуры;
9) Проведем отрезки, соединяющие вершины звезды через одну.

(Примечание: в пункте 4, вероятно, опечатка — должно быть «отметим точку К на середине отрезка ОЕ», так как КО не является отрезком в данном контексте.)

Дополнительные математические соотношения:
— Длина стороны пятиугольника: \(a = 2R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\)
— Центральный угол: \(\frac{2\pi}{5}\)
— Внутренний угол звезды: \(\frac{\pi}{5}\)
— Золотое сечение в пропорциях: \(\frac{A1A2}{OA1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)

Построение правильной пятиконечной звезды, вписанной в окружность радиуса \(R\) с центром в точке \(O\), выполняется следующим образом. Выбираем произвольную точку \(E\) на окружности и проводим диаметр \(OE\). Через центр \(O\) проводим прямую, перпендикулярную \(OE\), которая пересекает окружность в точке \(A_1\). Находим середину отрезка \(OE\) — точку \(K\). Строим окружность с центром в \(K\) и радиусом \(KA_1\), которая пересекает диаметр \(OE\) в точке \(M\). Теперь проводим окружность с центром в \(A_1\) и радиусом \(A_1M\), которая пересекает исходную окружность в точке \(A_2\). Повторяем эту процедуру, последовательно отмечая точки \(A_3\), \(A_4\) и \(A_5\) на окружности. Полученные точки \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\) образуют вершины правильного пятиугольника. Для завершения построения звезды проводим отрезки, соединяющие вершины через одну: \(A_1A_3\), \(A_3A_5\), \(A_5A_2\), \(A_2A_4\), \(A_4A_1\).

Длина стороны пятиугольника вычисляется по формуле \(a = 2R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\), а длина стороны звезды (хорды, соединяющей несмежные вершины) — \(l = 2R \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\). Центральный угол между соседними вершинами пятиугольника равен \(\frac{2\pi}{5}\) радиан. Внутренний угол при вершине звезды составляет \(\frac{\pi}{5}\) радиан. Площадь пятиугольника можно найти как \(S_{\text{пятиуг}} = \frac{5}{2} R^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\), а площадь звезды — \(S_{\text{звезды}} = \frac{5}{2} R^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\).

Отношение длины стороны звезды к радиусу окружности выражается через золотое сечение: \(\frac{l}{R} = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}\). Координаты вершин пятиугольника в декартовой системе координат с центром в точке \(O\) можно вычислить по формулам \(x_k = R \cdot \cos\left(\frac{2\pi k}{5}\right)\), \(y_k = R \cdot \sin\left(\frac{2\pi k}{5}\right)\), где \(k = 0, 1, 2, 3, 4\).

Для проверки правильности построения убедимся, что все стороны звезды равны между собой и образуют равные углы. Сумма внутренних углов звезды составляет \(5 \cdot \frac{\pi}{5} = \pi\) радиан. Радиус окружности, вписанной в пятиугольник (апофема), равен \(r = R \cdot \cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\).

Дополнительные соотношения:
— Отношение диагонали пятиугольника к его стороне: \(\frac{A_1A_3}{A_1A_2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
— Точка \(M\) делит отрезок \(OE\) в золотом сечении: \(\frac{OM}{ME} = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}\)
— Периметр пятиугольника: \(P = 10R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\)
— Угол между смежными сторонами звезды: \(\frac{3\pi}{5}\)

Все построения выполняются с помощью циркуля и линейки без делений, что соответствует классическим методам геометрических построений. Точность построения зависит от точности выполнения каждого шага, особенно при определении точки \(M\) и последующем построении точек \(A_2\) через \(A_5\).