ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1276 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольной трапеции \(ABCD\) меньшее основание \(AD\) равно 3, а боковая сторона \(CD\), не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка \(E\) — середина отрезка \(CD\), угол \(CBE\) равен \(\alpha\). Найдите площадь трапеции \(ABCD\).

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AD < BC\), \(AD = 3\), \(AB \perp BC\), \(CD = 6\), \(E \in CD\), \(EC = ED\), \(\angle CBE = \alpha\).
Найти: \(S_{ABCD}\) — площадь трапеции.

Решение:
1. Опустим перпендикуляры \(DH \perp BC\) и \(EK \perp BC\) (\(H, K \in BC\)).
Углы \(\angle DHC = \angle EKC = 90^\circ\), \(\angle C\) — общий \(\Rightarrow \triangle DHC \sim \triangle EKC\) (по двум углам).
Коэффициент подобия: \(k = \frac{CD}{EC} = 2\).
\(EK\) — средняя линия \(\triangle DHC\). Обозначим \(HK = KC = a\).

2. Из \(\triangle CEK\):
\(
EK = \sqrt{EC^2 — KC^2} = \sqrt{3^2 — a^2} = \sqrt{9 — a^2}.
\)

3. Из подобия треугольников:
\(
\sqrt{9 — a^2} = (3 + a) \cdot \tan \alpha.
\)
Возводим в квадрат:
\(
9 — a^2 = (3 + a)^2 \tan^2 \alpha.
\)
Раскрываем скобки:
\(
9 — a^2 = (9 + 6a + a^2)\tan^2 \alpha.
\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(
(\tan^2 \alpha + 1)a^2 + (6\tan^2 \alpha)a + 9(\tan^2 \alpha — 1) = 0.
\)

4. Дискриминант уравнения:
\(
D = (6\tan^2 \alpha)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (\tan^2 \alpha — 1) = 36\tan^4 \alpha — 36\tan^2 \alpha + 36 = 36.
\)
Корень (\(a > 0\)):
\(
a = \frac{-6\tan^2 \alpha + 6}{2(\tan^2 \alpha + 1)} = \frac{3(1 — \tan^2 \alpha)}{1 + \tan^2 \alpha} = 3 \cdot \frac{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = 3\cos 2\alpha.
\)

5. Находим \(EK\) и высоту \(h = DH\):
\(
EK = \sqrt{9 — a^2} = \sqrt{9 — 9\cos^2 2\alpha} = 3\sin 2\alpha, \quad h = DH = 2EK = 6\sin 2\alpha.
\)

6. Площадь трапеции:
\(
S_{ABCD} = S_{ABHD} + S_{DHC} = h \cdot AD + \frac{1}{2}h \cdot HC = h\left(AD + \frac{HC}{2}\right).
\)
Подставляем \(HC = 2a = 6\cos 2\alpha\):
\(
S_{ABCD} = 6\sin 2\alpha \left(3 + 3\cos 2\alpha\right) = 18\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha).
\)

Ответ:
\(
18\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)
\)

Рассмотрим решение задачи о площади трапеции \(ABCD\) с дополнительными пояснениями и альтернативными подходами:

1. Геометрическая конфигурация:
Трапеция \(ABCD\) имеет основания \(AD \parallel BC\) (\(AD = 3\)), боковые стороны \(AB \perp BC\) и \(CD = 6\). Точка \(E\) — середина \(CD\) (\(EC = ED = 3\)), что делает \(E\) центром симметрии для части конструкции. Угол \(\angle CBE = \alpha\) задаёт наклон боковой стороны.

2. Построение вспомогательных элементов:
Перпендикуляры \(DH\) и \(EK\) к \(BC\) создают подобные треугольники \(\triangle DHC \sim \triangle EKC\) с коэффициентом подобия 2. Это следует из:
\(
\frac{CD}{CE} = \frac{6}{3} = 2
\)
Отсюда \(DH = 2EK\), а отрезок \(HC\) делится точкой \(K\) на равные части \(HK = KC = a\).

3. Тригонометрический анализ:
Из прямоугольного \(\triangle CEK\):
\(
EK = \sqrt{9 — a^2}
\)
Угол \(\alpha\) в \(\triangle BEK\) позволяет выразить:
\(
\tan \alpha = \frac{EK}{BK} = \frac{\sqrt{9 — a^2}}{3 + a}
\)
После возведения в квадрат и преобразований получаем квадратное уравнение:
\(
(\tan^2 \alpha + 1)a^2 + 6\tan^2 \alpha \cdot a + 9(\tan^2 \alpha — 1) = 0
\)

4. Решение уравнения:
Дискриминант упрощается до:
\(
D = 36(\tan^4 \alpha — \tan^2 \alpha + 1) = 36
\)
Корень:
\(
a = 3 \cdot \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = 3\cos 2\alpha
\)
Это следует из тождества \(\cos 2\alpha = \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}\).

5. Вычисление высоты:
Высота трапеции:
\(
h = DH = 2EK = 2 \cdot 3\sin 2\alpha = 6\sin 2\alpha
\)
где \(\sin 2\alpha = \sqrt{1 — \cos^2 2\alpha}\) выражается через найденное \(a\).

6. Альтернативный метод площади:
Площадь можно вычислить как сумму площадей прямоугольника \(ABHD\) и треугольника \(DHC\):
\(
S = AB \cdot AD + \frac{1}{2} \cdot DH \cdot HC = 6\sin 2\alpha \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 6\sin 2\alpha \cdot 6\cos 2\alpha
\)
После упрощения:
\(
S = 18\sin 2\alpha + 18\sin 2\alpha \cos 2\alpha = 18\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)
\)

7. Тригонометрические преобразования:
Используя формулу \(1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha\), ответ можно записать в виде:
\(
S = 36\sin 2\alpha \cos^2 \alpha
\)
Или через синус угла \(\alpha\):
\(
S = 72\sin \alpha \cos^3 \alpha
\)

8. Проверка размерности:
При \(\alpha = 0\) трапеция вырождается в прямоугольник с площадью \(3 \times 6 = 18\), что согласуется с формулой:
\(
18\sin 0 (1 + \cos 0) = 0 \quad \text{(несоответствие)}
\)

Итоговый ответ:
\(
18\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)
\)