ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1274 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле \(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\), где \(p\) — полупериметр, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — стороны четырёхугольника.

\(
S = \sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}
\)
\(
\angle A + \angle C = 180^\circ \quad (\angle B + \angle D = 180^\circ)
\)
\(
BD^2 = a^2 + d^2 — 2ad \cos A
\)
\(
BD^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos C = b^2 + c^2 + 2bc \cos A
\)
\(
a^2 + d^2 — 2ad \cos A = b^2 + c^2 + 2bc \cos A
\)
\(
2(ad + bc) \cos A = a^2 + d^2 — b^2 — c^2
\)
\(
\cos A = \frac{a^2 + d^2 — b^2 — c^2}{2(ad + bc)}
\)
\(
\sin^2 A = 1 — \cos^2 A = 1 — \left( \frac{a^2 + d^2 — b^2 — c^2}{2(ad + bc)} \right)^2
\)
\(
\sin^2 A = \frac{4(ad + bc)^2 — (a^2 + d^2 — b^2 — c^2)^2}{4(ad + bc)^2}
\)
\(
\sin^2 A = \frac{(2ad + 2bc — a^2 — d^2 + b^2 + c^2)(2ad + 2bc + a^2 + d^2 — b^2 — c^2)}{4(ad + bc)^2}
\)
\(
\sin^2 A = \frac{((b^2 + c^2 + 2bc) — (a^2 + d^2 — 2ad))((a^2 + d^2 + 2ad) — (b^2 + c^2 — 2bc))}{4(ad + bc)^2}
\)
\(
\sin^2 A = \frac{((b + c)^2 — (a — d)^2)((a + d)^2 — (b — c)^2)}{4(ad + bc)^2}
\)
\(
\sin^2 A = \frac{(a + b + c — d)(-a + b + c + d)(a — b + c + d)(a + b — c + d)}{4(ad + bc)^2}
\)

\(
P = a + b + c + d, \quad p = \frac{P}{2}
\)
\(
\sin^2 A = \frac{(P — 2a)(P — 2b)(P — 2c)(P — 2d)}{4(ad + bc)^2} = \frac{4(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}{(ad + bc)^2}
\)
\(
\sin A = \frac{2\sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}}{ad + bc}
\)
\(
S = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} ad \sin A + \frac{1}{2} bc \sin C = \frac{1}{2} (ad + bc) \sin A
\)
\(
S = \frac{1}{2} (ad + bc) \cdot \frac{2\sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}}{ad + bc} = \sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}
\)

Доказательство формулы площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты) с полной детализацией:

Пусть дан вписанный четырехугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(AD = d\), вписанный в окружность радиуса \(R\). Полупериметр \(p = \frac{a + b + c + d}{2}\). Площадь \(S\) выражается формулой: \(S = \sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}\)

Доказательство:

По свойству вписанного четырехугольника: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) \(\angle B + \angle D = 180^\circ\)

Рассмотрим диагональ \(BD\). По теореме косинусов для треугольников \(ABD\) и \(CBD\): \(BD^2 = a^2 + d^2 — 2ad \cos A\) \(BD^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos C\)

Так как \(\angle C = 180^\circ — \angle A\), то \(\cos C = -\cos A\). Подставляем: \(a^2 + d^2 — 2ad \cos A = b^2 + c^2 + 2bc \cos A\)

Переносим все члены в одну сторону: \(a^2 + d^2 — b^2 — c^2 = 2(ad + bc) \cos A\)

Выражаем \(\cos A\): \(\cos A = \frac{a^2 + d^2 — b^2 — c^2}{2(ad + bc)}\)

Находим \(\sin A\) через основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A = 1 — \cos^2 A = 1 — \left(\frac{a^2 + d^2 — b^2 — c^2}{2(ad + bc)}\right)^2\)

Приводим к общему знаменателю: \(\sin^2 A = \frac{4(ad + bc)^2 — (a^2 + d^2 — b^2 — c^2)^2}{4(ad + bc)^2}\)

Разложим числитель как разность квадратов: \(4(ad + bc)^2 — (a^2 + d^2 — b^2 — c^2)^2 = (2(ad + bc) — (a^2 + d^2 — b^2 — c^2))\)
\((2(ad + bc) + (a^2 + d^2 — b^2 — c^2))\)

Упрощаем выражения в скобках: \((b^2 + c^2 + 2bc — a^2 — d^2 + 2ad)(a^2 + d^2 + 2ad — b^2 — c^2 + 2bc)\)

Перепишем через полные квадраты: \(((b + c)^2 — (a — d)^2)((a + d)^2 — (b — c)^2)\)

Разложим на множители разность квадратов: \((b + c — a + d)(b + c + a — d)(a + d — b + c)(a + d + b — c)\)

Введем обозначение для периметра \(P = a + b + c + d\) и полупериметра \(p = \frac{P}{2}\): \((P — 2a)(P — 2b)(P — 2c)(P — 2d) = 16(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)\)

Таким образом: \(\sin^2 A = \frac{16(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}{4(ad + bc)^2} = \frac{4(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}{(ad + bc)^2}\)

Извлекаем квадратный корень: \(\sin A = \frac{2\sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}}{ad + bc}\)

Площадь четырехугольника \(ABCD\) равна сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(CBD\): \(S = \frac{1}{2}ad \sin A + \frac{1}{2}bc \sin C\)

Так как \(\angle C = 180^\circ — \angle A\), то \(\sin C = \sin A\): \(S = \frac{1}{2}(ad + bc)\sin A\)

Подставляем выражение для \(\sin A\): \(S = \frac{1}{2}(ad + bc) \cdot \frac{2\sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}}{ad + bc}\)

После сокращения получаем искомую формулу: \(S = \sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}\)

Таким образом, площадь вписанного четырехугольника действительно выражается через длины его сторон по формуле Брахмагупты. Доказательство завершено.