ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1268 Атанасян — Подробные Ответы

Пусть A и B — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек M, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки A и B, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

а):
1. \( AM^2 = x^2 + y^2 \)
2. \( BM^2 = (x — a)^2 + y^2 \)
3. \( AM^2 = k^2 \cdot BM^2 \)
4. \( x^2 + y^2 = k^2((x — a)^2 + y^2) \)
5. \( x^2 — k^2(x — a)^2 + (1 — k^2)y^2 = 0 \)
6. \( (x — k^2)x^2 + 2k^2 a x — k^2 a^2 + (1 — k^2)y^2 = 0 \)
7. \( x^2 + 2 \frac{k^2 a}{1 — k^2} x + y^2 = \frac{k^2 a^2}{1 — k^2} \)
8. \( \left(x + \frac{k^2 a}{1 — k^2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{k a}{1 — k^2}\right)^2 \)

б):
1. \( DA^2 = DB^2 \)
2. \( x^2 + y^2 = (x — a)^2 + y^2 \)
3. \( x^2 + y^2 = x^2 — 2a x + a^2 + y^2 \)
4. \( (x — \frac{a}{2})^2 + (y — y_p)^2 = r^2 \)
5. \( CD^2 = \left(\frac{a}{2} + \frac{k^2 a}{1 — k^2}\right)^2 + y_p^2 \)
6. \( CE^2 = R^2 = \left(\frac{k a}{1 — k^2}\right)^2 \)
7. \( DE^2 = r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + y_p^2 \)
8. \( CE^2 + DE^2 = \left(\frac{k a}{1 — k^2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + y_p^2 = CD^2 \)

Рассмотрим задачу о геометрическом месте точек \( M \), удовлетворяющих условию \( AM = k \cdot BM \) для данных точек \( A \) и \( B \) и коэффициента \( k > 0 \), \( k \neq 1 \). Доказательство проведём в координатах, выбрав систему так, чтобы \( A \) находилась в начале координат, а \( B \) — на оси абсцисс. Пусть \( A(0; 0) \), \( B(a; 0) \), а точка \( M \) имеет координаты \( (x; y) \).

Выразим расстояния \( AM \) и \( BM \) через координаты:
\( AM = \sqrt{x^2 + y^2} \),
\( BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2} \).

По условию \( AM = k \cdot BM \), возведём обе части в квадрат:
\( x^2 + y^2 = k^2 \left( (x — a)^2 + y^2 \right) \).

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
\( x^2 + y^2 = k^2 x^2 — 2 k^2 a x + k^2 a^2 + k^2 y^2 \).
Перенесём все члены в левую часть:
\( x^2 — k^2 x^2 + 2 k^2 a x — k^2 a^2 + y^2 — k^2 y^2 = 0 \).

Сгруппируем слагаемые:
\( (1 — k^2) x^2 + 2 k^2 a x — k^2 a^2 + (1 — k^2) y^2 = 0 \).

Разделим уравнение на \( (1 — k^2) \) (поскольку \( k \neq 1 \)):
\( x^2 + \frac{2 k^2 a}{1 — k^2} x + y^2 = \frac{k^2 a^2}{1 — k^2} \).

Дополним квадрат по \( x \):
\( x^2 + \frac{2 k^2 a}{1 — k^2} x + \left( \frac{k^2 a}{1 — k^2} \right)^2 + y^2 = \frac{k^2 a^2}{1 — k^2} + \left( \frac{k^2 a}{1 — k^2} \right)^2 \).

Упростим правую часть:
\( \left( x + \frac{k^2 a}{1 — k^2} \right)^2 + y^2 = \frac{k^2 a^2 (1 — k^2) + k^4 a^2}{(1 — k^2)^2} \).

Объединим числители:
\( \left( x + \frac{k^2 a}{1 — k^2} \right)^2 + y^2 = \frac{k^2 a^2 (1 — k^2 + k^2)}{(1 — k^2)^2} = \frac{k^2 a^2}{(1 — k^2)^2} \).

Таким образом, получаем уравнение окружности:
\( \left( x + \frac{k^2 a}{1 — k^2} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{k a}{1 — k^2} \right)^2 \).

Центр окружности \( C \) имеет координаты \( \left( -\frac{k^2 a}{1 — k^2}; 0 \right) \), а радиус равен \( R = \left| \frac{k a}{1 — k^2} \right| \).

Для доказательства перпендикулярности радиусов в точке пересечения \( E \) рассмотрим вторую окружность \( \omega_1 \) с центром \( D \left( \frac{a}{2}; y_p \right) \), проходящую через точки \( A \) и \( B \). Уравнение \( \omega_1 \):
\( \left( x — \frac{a}{2} \right)^2 + (y — y_p)^2 = r^2 \), где \( r = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + y_p^2} \).

Расстояние между центрами \( C \) и \( D \):
\( CD^2 = \left( \frac{a}{2} + \frac{k^2 a}{1 — k^2} \right)^2 + y_p^2 \).

Квадраты расстояний от \( E \) до центров:
\( CE^2 = R^2 = \left( \frac{k a}{1 — k^2} \right)^2 \),
\( DE^2 = r^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + y_p^2 \).

Сумма квадратов расстояний:
\( CE^2 + DE^2 = \left( \frac{k a}{1 — k^2} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 + y_p^2 = CD^2 \).

Это означает, что треугольник \( CED \) прямоугольный с прямым углом при \( E \), следовательно, радиусы \( CE \) и \( DE \) перпендикулярны.