ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1267 Атанасян — Подробные Ответы

Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки M1 окружности на луче OM1 взята такая точка M, что OM = k ⋅ OM1, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек M.

Дано условие задачи: точки \( \alpha \) и \( A \) лежат на прямой \( a \), точка \( M_1 \) также принадлежит прямой \( a \), а точка \( M \) находится на луче \( (AM_1) \). При этом выполняется соотношение \( AM_1 \cdot AM = k \), где \( k > 0 \).

В процессе решения на шаге 3 вычисляются расстояния: \( AM = \sqrt{x^2 + (y — a)^2} \) и \( AM_1 = \sqrt{a^2 + m^2} \). На шаге 4 подставляем эти выражения в исходное условие: \( \sqrt{a^2 + m^2} \cdot \sqrt{x^2 + (y — a)^2} = k \). После возведения в квадрат получаем \( (a^2 + m^2)(x^2 + (y — a)^2) = k^2 \), что преобразуется к виду \( x^2 + (y — a)^2 = \frac{k^2}{a^2 + m^2} \).

Ответом является окружность с центром в точке \( A(0; a) \). Её уравнение \( x^2 + (y — a)^2 = \frac{k^2}{a^2 + m^2} \) показывает, что радиус окружности равен \( \frac{k}{\sqrt{a^2 + m^2}} \), а центр совпадает с точкой \( A \). Таким образом, геометрическое место точек \( M \) представляет собой окружность, положение и размер которой зависят от параметров \( a \), \( m \) и \( k \).

Рассмотрим задачу о геометрическом месте точек \( M \), удовлетворяющих условию \( AM_1 \cdot AM = k \), где \( A \) и \( M_1 \) — фиксированные точки на прямой \( a \), а \( M \) лежит на луче \( (AM_1) \).

Пусть прямая \( a \) задана в декартовой системе координат, где точка \( A \) имеет координаты \( (0, a) \), а точка \( M_1 \) — \( (m, a) \), так как обе лежат на одной горизонтальной прямой \( y = a \). Точка \( M \) находится на продолжении луча \( AM_1 \), поэтому её координаты можно выразить как \( (x, y) \).

Расстояние между точками \( A \) и \( M \) вычисляется по формуле:
\( AM = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — a)^2} = \sqrt{x^2 + (y — a)^2} \).

Расстояние между точками \( A \) и \( M_1 \) равно:
\( AM_1 = \sqrt{(m — 0)^2 + (a — a)^2} = \sqrt{m^2} = |m| \).

По условию задачи \( AM_1 \cdot AM = k \). Подставляя выражения для расстояний, получаем:
\( |m| \cdot \sqrt{x^2 + (y — a)^2} = k \).

Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\( m^2 \cdot (x^2 + (y — a)^2) = k^2 \).

Разделим обе части на \( m^2 \) (при \( m \neq 0 \)):
\( x^2 + (y — a)^2 = \frac{k^2}{m^2} \).

Это уравнение окружности с центром в точке \( A(0, a) \) и радиусом \( R = \frac{k}{|m|} \). Таким образом, геометрическое место точек \( M \) — это окружность, центр которой совпадает с точкой \( A \), а радиус зависит от расстояния \( AM_1 \) и параметра \( k \).

Если \( m = 0 \), то точка \( M_1 \) совпадает с \( A \), и условие \( AM_1 \cdot AM = 0 \) выполняется только при \( k = 0 \), что противоречит исходному условию \( k > 0 \). Следовательно, \( m \neq 0 \).

Дополнительно можно рассмотреть случай, когда \( M \) лежит между \( A \) и \( M_1 \). В этом случае \( AM = \sqrt{x^2 + (y — a)^2} \), а \( AM_1 = |m| \), и условие \( AM_1 \cdot AM = k \) приводит к тому же уравнению окружности.

Таким образом, независимо от положения \( M \) на луче \( (AM_1) \), геометрическое место точек \( M \) описывается уравнением \( x^2 + (y — a)^2 = \frac{k^2}{m^2} \), что соответствует окружности с центром в \( A \) и радиусом \( \frac{k}{|m|} \).