Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1266 Атанасян — Подробные Ответы
Даны прямая \(a\) и точка \(A\) вне её. Для каждой точки \(M\) на прямой \(a\) на луче \(AM\) выбрана точка \(M_1\) так, что \(AM_1 \cdot AM = k\) (\(k > 0\)). Найдите множество всех точек \(M_1\).
1. Условие задачи:
\( \alpha, A \in a; M_1 \in a; M \in (AM_1); AM_1 \cdot AM = k > 0 \)
2. Решение:
— Шаг 3:
\( AM = \sqrt{x^2 + (y — a)^2} \)
\( AM_1 = \sqrt{a^2 + m^2} \)
— Шаг 4:
\( AM_1 \cdot AM = \sqrt{a^2 + m^2} \cdot \sqrt{x^2 + (y — a)^2} = k \)
\( (a^2 + m^2)(x^2 + (y — a)^2) = k^2 \)
\( x^2 + (y — a)^2 = \frac{k^2}{a^2 + m^2} \)
3. Ответ:
Окружность с центром в точке \( A(0; a) \).
Дано: прямая \( a \), точка \( A \in a \), точка \( M_1 \in a \), точка \( M \) лежит на луче \((AM_1)\), произведение длин отрезков \( AM_1 \) и \( AM \) равно положительной константе \( k \), то есть \( AM_1 \cdot AM = k \). Требуется найти геометрическое место точек \( M \).
Выберем систему координат так, чтобы прямая \( a \) совпадала с осью \( Ox \), точка \( A \) имела координаты \( (0; a) \), а точка \( M_1 \) — \( (m; 0) \). Пусть точка \( M \) имеет координаты \( (x; y) \). Тогда вектор \( \overrightarrow{AM} \) задаётся как \( (x; y — a) \), а его длина равна \( AM = \sqrt{x^2 + (y — a)^2} \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{AM_1} \) имеет координаты \( (m; -a) \), и его длина равна \( AM_1 = \sqrt{m^2 + a^2} \).
По условию задачи \( AM_1 \cdot AM = k \), что в координатной форме записывается как:
\(
\sqrt{m^2 + a^2} \cdot \sqrt{x^2 + (y — a)^2} = k.
\)
Возводя обе части в квадрат, получаем:
\(
(m^2 + a^2)(x^2 + (y — a)^2) = k^2.
\)
Разделим обе части на \( m^2 + a^2 \):
\(
x^2 + (y — a)^2 = \frac{k^2}{m^2 + a^2}.
\)
Это уравнение окружности с центром в точке \( A(0; a) \) и радиусом \( R = \frac{k}{\sqrt{m^2 + a^2}} \). Таким образом, геометрическое место точек \( M \) — это окружность с центром в точке \( A \) и радиусом, зависящим от положения точки \( M_1 \) на прямой \( a \).
Ответ: геометрическое место точек \( M \) — окружность с центром в точке \( A(0; a) \) и радиусом \( R = \frac{k}{\sqrt{m^2 + a^2}} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.