ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1265 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки \(A\), \(B\), \(C\) и числа \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Найдите множество точек \(M\), для которых \(\alpha \cdot AM^2 + \beta \cdot BM^2 + \gamma \cdot CM^2\) постоянно, если:
а) \(\alpha + \beta + \gamma = 0\);
б) \(\alpha + \beta + \gamma \neq 0\).

1. \(aAM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k = \text{const}\)

2. \(AM^2 = x^2 + y^2\)

3. \(BM^2 = (x — b)^2 + y^2\)

4. \(CM^2 = (x — c)^2 + (y — d)^2\)

5. \(a(x^2 + y^2) + \beta((x — b)^2 + y^2) + \gamma((x — c)^2 + (y — d)^2)\)

6. \((a + \beta + \gamma)x^2 — 2\beta xb + \beta b^2 — 2\gamma xc + \gamma c^2 + (a + \beta + \gamma)y^2 — 2\gamma dy + \gamma d^2\)

7. \((a + \beta + \gamma)x^2 — 2(\beta b + \gamma c)x + (a + \beta + \gamma)y^2 — 2\gamma dy + \beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 =\)
\(= k\)

8. \(a + \beta + \gamma \neq 0\)

9. \(x^2 — 2\frac{\beta b + \gamma c}{a + \beta + \gamma}x + y^2 — 2\frac{\gamma d}{a + \beta + \gamma}y + \frac{\beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 — k}{a + \beta + \gamma} = 0\)

10. \(\left(x — \frac{\beta b + \gamma c}{a + \beta + \gamma}\right)^2 + \left(y — \frac{\gamma d}{a + \beta + \gamma}\right)^2 = Z = \text{const}\)

11. \(a + \beta + \gamma = 0\)

12. \(-2(\beta b + \gamma c)x — 2\gamma dy + \beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 = k\)

13. \(\frac{\beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 — k}{2} = 0\)

14. \((\beta b + \gamma c)x + \gamma dy + R = 0\)

15. \(Px + Qy + R = 0\)

Где:
— \(P = \beta b + \gamma c\)
— \(Q = \gamma d\)
— \(R = \frac{\beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 — k}{2}\)

Дано точки \(A\), \(B\), \(C\) и числа \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Условие: \(\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k = \text{const}\). Требуется найти геометрическое место точек \(M\) в двух случаях: а) \(\alpha + \beta + \gamma \neq 0\); б) \(\alpha + \beta + \gamma = 0\).

Решение:

1. Введём систему координат так, чтобы точка \(A\) находилась в начале координат \(A(0; 0)\), точка \(B\) — на оси \(Ox\) в позиции \(B(b; 0)\), а точка \(C\) — в произвольной точке \(C(c, d)\). Координаты точки \(M\) обозначим как \(M(x, y)\).

2. Выразим квадраты расстояний:
\(
AM^2 = x^2 + y^2, \quad BM^2 = (x — b)^2 + y^2, \quad CM^2 = (x — c)^2 + (y — d)^2.
\)

3. Подставим в исходное уравнение:
\(
\alpha (x^2 + y^2) + \beta \left((x — b)^2 + y^2\right) + \gamma \left((x — c)^2 + (y — d)^2\right) = k.
\)

4. Раскроем скобки и приведём подобные:
\(
(\alpha + \beta + \gamma)x^2 — 2(\beta b + \gamma c)x + (\alpha + \beta + \gamma)y^2 — 2\gamma d y + \beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 =\)
\(= k.
\)

5. Рассмотрим два случая.

Случай а) \(\alpha + \beta + \gamma \neq 0\):
Поделим уравнение на \(\alpha + \beta + \gamma\):
\(
x^2 — 2\frac{\beta b + \gamma c}{\alpha + \beta + \gamma}x + y^2 — 2\frac{\gamma d}{\alpha + \beta + \gamma}y = \frac{k — \beta b^2 — \gamma c^2 — \gamma d^2}{\alpha + \beta + \gamma}.
\)
Выделим полные квадраты:
\(
\left(x — \frac{\beta b + \gamma c}{\alpha + \beta + \gamma}\right)^2 + \left(y — \frac{\gamma d}{\alpha + \beta + \gamma}\right)^2 = \frac{(\beta b + \gamma c)^2 + \gamma^2 d^2}{(\alpha + \beta + \gamma)^2} + \frac{k — \beta b^2 — \gamma c^2 — \gamma d^2}{\alpha + \beta + \gamma}.
\)
Обозначим правую часть как \(Z\). Тогда:
— Если \(Z > 0\), уравнение задаёт окружность с центром в \(\left(\frac{\beta b + \gamma c}{\alpha + \beta + \gamma}, \frac{\gamma d}{\alpha + \beta + \gamma}\right)\) и радиусом \(\sqrt{Z}\).
— Если \(Z = 0\), решение — единственная точка (центр окружности).
— Если \(Z < 0\), решений нет (пустое множество).

Случай б) \(\alpha + \beta + \gamma = 0\):
Уравнение упрощается до линейного:
\(
-2(\beta b + \gamma c)x — 2\gamma d y + \beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 = k.
\)
Приведём к виду:
\(
(\beta b + \gamma c)x + \gamma d y + \frac{\beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 — k}{2} = 0.
\)
Обозначим коэффициенты:
\(
P = \beta b + \gamma c, \quad Q = \gamma d, \quad R = \frac{\beta b^2 + \gamma c^2 + \gamma d^2 — k}{2}.
\)
Тогда:
— Если \(P \neq 0\) или \(Q \neq 0\), уравнение задаёт прямую.
— Если \(P = Q = 0\) и \(R = 0\), любая точка плоскости удовлетворяет уравнению (вся плоскость).
— Если \(P = Q = 0\) и \(R \neq 0\), решений нет (пустое множество).

Ответ:
а) Окружность, точка или пустое множество.
б) Прямая, вся плоскость или пустое множество.