ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1264 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите точки пересечения окружностей \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 4\) и \(x^2 + y^2 = 1\), а также длину их общей хорды.

1. Уравнения окружностей:
\( (x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 4 \)
\( x^2 + y^2 = 1 \)

2. Разность уравнений:
\( (x-1)^2 + (y-2)^2 — (x^2 + y^2) = 4 — 1 \)
\( x^2 — 2x + 1 + y^2 — 4y + 4 — x^2 — y^2 = 3 \)
\( -2x — 4y + 2 = 0 \)
\( y = -\frac{2 — x + 1}{2} \)

3. Подстановка и решение:
\( (-x + 1)^2 = 1 \)
\( 4x^2 + (1 — x)^2 = 4 \)
\( 4x^2 + x^2 — 2x + 1 = 4 \)
\( 5x^2 — 2x — 3 = 0 \)
\( (x — 1)(5x + 3) = 0 \)

4. Корни уравнения:
\( x_1 = -\frac{3}{5} \)
\( x_2 = 1 \)

5. Координаты точек:
\( A\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \)
\( B(1, 0) \)

6. Длина хорды:
\( AB = \sqrt{\left(1 + \frac{3}{5}\right)^2 + \left(0 — \frac{4}{5}\right)^2} \)
\( AB = \sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} \)
\( AB = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \)

Ответ:
\( \text{Точки пересечения: } \left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right), (1, 0) \)
\( \text{Длина хорды: } \frac{4\sqrt{5}}{5} \)

Дано система уравнений:
\(
\begin{cases}
(x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 4 \\
x^2 + y^2 = 1
\end{cases}
\)

Первое уравнение описывает окружность с центром в точке \( (1, 2) \) и радиусом \( 2 \). Второе уравнение — окружность с центром в начале координат \( (0, 0) \) и радиусом \( 1 \). Найдём точки пересечения этих окружностей.

Вычтем второе уравнение из первого:
\(
(x — 1)^2 + (y — 2)^2 — (x^2 + y^2) = 4 — 1
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 — 2x + 1 + y^2 — 4y + 4 — x^2 — y^2 = 3
\)
Упростим:
\(
-2x — 4y + 5 = 3
\)
Перенесём свободные члены:
\(
-2x — 4y = -2
\)
Разделим на \(-2\):
\(
x + 2y = 1
\)
Выразим \( x \):
\(
x = 1 — 2y
\)

Подставим \( x = 1 — 2y \) во второе уравнение системы:
\(
(1 — 2y)^2 + y^2 = 1
\)
Раскроем скобки:
\(
1 — 4y + 4y^2 + y^2 = 1
\)
Соберём подобные:
\(
5y^2 — 4y = 0
\)
Вынесем \( y \):
\(
y(5y — 4) = 0
\)
Получаем два решения:
\(
y_1 = 0, \quad y_2 = \frac{4}{5}
\)

Найдём соответствующие значения \( x \):
Для \( y_1 = 0 \):
\(
x_1 = 1 — 2 \cdot 0 = 1
\)
Для \( y_2 = \frac{4}{5} \):
\(
x_2 = 1 — 2 \cdot \frac{4}{5} = 1 — \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}
\)

Точки пересечения:
\(
A(1, 0), \quad B\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)
\)

Вычислим длину хорды \( AB \):
\(
AB = \sqrt{\left(-\frac{3}{5} — 1\right)^2 + \left(\frac{4}{5} — 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} =\)
\(=\sqrt{\frac{16 \cdot 5}{25}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}
\)

Ответ:
Точки пересечения: \( (1, 0) \) и \( \left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \). Длина хорды: \( \frac{4\sqrt{5}}{5} \).