ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1263 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) уравнение \(Ax + By + C = 0\) (где \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно) задаёт прямую;
б) уравнение \(x^2 — xy — 2 = 0\) не является уравнением окружности.

1. \(Ax + By + C = 0\)
2. \(By + C = 0\)
3. \(y = -\frac{C}{B}\)
4. \(Ax + C = 0\)
5. \(x = -\frac{C}{A}\)
6. \(y = -\frac{A}{B}x — \frac{C}{B}\)
7. \(\frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = -\frac{A}{B}\)
8. \(x^2 — xy — 2 = 0\)
9. \(xy = x^2 — 2\)
10. \(y = \frac{x^2 — 2}{x}\)
11. \(x = 0\)
12. \(y = x\)

Рассмотрим полное решение с максимальной детализацией.

а) Доказательство того, что уравнение \(Ax + By + C = 0\) (где \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно) является уравнением прямой:

Если \(A = 0\), \(B \neq 0\), уравнение принимает вид \(By + C = 0\), откуда \(y = -\frac{C}{B}\). Это горизонтальная прямая, параллельная оси \(Ox\).

Если \(B = 0\), \(A \neq 0\), уравнение имеет вид \(Ax + C = 0\), откуда \(x = -\frac{C}{A}\). Это вертикальная прямая, параллельная оси \(Oy\).

Если \(A \neq 0\) и \(B \neq 0\), уравнение можно разрешить относительно \(y\):
\(
y = -\frac{A}{B}x — \frac{C}{B}
\)
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k = -\frac{A}{B}\) и свободным членом \(b = -\frac{C}{B}\).

Для любых двух точек \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), лежащих на этой прямой, выполняется:
\(
\frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = -\frac{A}{B}
\)
Поскольку отношение приращений постоянно, все точки лежат на одной прямой.

б) Доказательство того, что уравнение \(x^2 — xy — 2 = 0\) не является уравнением окружности:

Уравнение окружности имеет вид \((x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2\) и не содержит слагаемого вида \(kxy\). В данном случае:
\(
x^2 — xy — 2 = 0 \Rightarrow xy = x^2 — 2 \Rightarrow y = \frac{x^2 — 2}{x}
\)
Эта функция имеет вертикальную асимптоту \(x = 0\) и наклонную асимптоту \(y = x\), что не соответствует свойствам окружности.

Таким образом, кривая не является окружностью.