ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1261 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) стороны \(AC = 9\) см, \(BC = 12\) см. Медианы \(AM\) и \(BN\) взаимно перпендикулярны. Найдите длину стороны \(AB\).

1. Точка равновесия для двух масс:
\(
\begin{cases}
m_1g(x-x_1) + m_2g(x-x_2) = 0 \\
m_1g(y-y_1) + m_2g(y-y_2) = 0
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
x(m_1+m_2) = m_1x_1 + m_2x_2 \\
y(m_1+m_2) = m_1y_1 + m_2y_2
\end{cases}
\)
\(
x_{12} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}, \quad y_{12} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2}
\)

2. Для трёх масс:
\(
\begin{cases}
(m_1+m_2)g(x-x_{12}) + m_3g(x-x_3) = 0 \\
(m_1+m_2)g(y-y_{12}) + m_3g(y-y_3) = 0
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
(m_1 + m_2 + m_3)x = m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 \\
(m_1 + m_2 + m_3)y = m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3
\end{cases}
\)

3. Центр масс:
\(
x_c = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}, \quad y_c = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3}
\)

Дано треугольник \(ABC\) с координатами точек \(A(0; 0)\), \(C(9; 0)\) и \(B(x; y)\) (\(y > 0\)). Длины сторон: \(AC = 9\) см, \(BC = 12\) см. Медианы \(AM\) и \(BN\) перпендикулярны (\(AM \perp BN\)).

Координаты точки \(M\) (середина \(BC\)):
\(
M\left(\frac{x + 9}{2}; \frac{y}{2}\right)
\)
Координаты точки \(N\) (середина \(AC\)):
\(
N\left(\frac{0 + 9}{2}; \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(4.5; 0\right)
\)

Вектор \(\overrightarrow{AM}\):
\(
\overrightarrow{AM} = \left(\frac{x + 9}{2} — 0; \frac{y}{2} — 0\right) = \left(\frac{x + 9}{2}; \frac{y}{2}\right)
\)
Вектор \(\overrightarrow{BN}\):
\(
\overrightarrow{BN} = \left(4.5 — x; 0 — y\right) = \left(4.5 — x; -y\right)
\)

Условие перпендикулярности векторов:
\(
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = 0 \implies \left(\frac{x + 9}{2}\right)(4.5 — x) + \left(\frac{y}{2}\right)(-y) = 0
\)
Раскрываем скобки:
\(
\frac{(x + 9)(4.5 — x)}{2} — \frac{y^2}{2} = 0 \implies (x + 9)(4.5 — x) — y^2 = 0
\)
Преобразуем:
\(
4.5x — x^2 + 40.5 — 9x — y^2 = 0 \implies -x^2 — 4.5x + 40.5 — y^2 = 0
\)
Умножаем на \(-1\):
\(
x^2 + 4.5x — 40.5 + y^2 = 0 \implies x^2 + 4.5x + y^2 = 40.5
\)

Точка \(B\) лежит на окружности с центром \(C(9; 0)\) и радиусом \(12\):
\(
(x — 9)^2 + y^2 = 144
\)
Раскрываем скобки:
\(
x^2 — 18x + 81 + y^2 = 144 \implies x^2 — 18x + y^2 = 63
\)

Теперь решаем систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + 4.5x + y^2 = 40.5 \\
x^2 — 18x + y^2 = 63
\end{cases}
\)
Вычитаем первое уравнение из второго:
\(
(x^2 — 18x + y^2) — (x^2 + 4.5x + y^2) = 63 — 40.5 \implies -22.5x = 22.5 \implies x = -1
\)

Подставляем \(x = -1\) в первое уравнение:
\(
(-1)^2 + 4.5(-1) + y^2 = 40.5 \implies 1 — 4.5 + y^2 = 40.5 \implies y^2 = 44 \implies y = 2\sqrt{11}
\)

Теперь находим расстояние \(AB\):
\(
AB = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2\sqrt{11})^2} = \sqrt{1 + 44} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
\)

Ответ: \(AB = 3\sqrt{5}\) см.