ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1255 Атанасян — Подробные Ответы

В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как т2 : n2?

Дано: Шары: \(S_1(O_1, r)\); \(S_2(O_2, R)\);
\(S_2 : S_1 = m^2 : n^2\);
Найти: \(V_2 : V_1 = ?\);

Решение:
1) Соотношение площадей поверхностей:
\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = \frac{m^2}{n^2}\), отсюда \(\frac{R}{r} = \frac{m}{n}\);

2) Соотношение объемов:
\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \left(\frac{R}{r}\right)^3 = \left(\frac{m}{n}\right)^3\);

3) Таким образом, \(V_2 : V_1 = m^3 : n^3\).

Ответ: \(V_2 : V_1 = m^3 : n^3\).

Дано два шара: \(S_1\) с радиусом \(r\) и \(S_2\) с радиусом \(R\). Известно, что отношение их площадей поверхностей равно \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{m^2}{n^2}\). Требуется найти отношение их объемов \(\frac{V_2}{V_1}\).

Площадь поверхности шара выражается формулой \(S = 4\pi R^2\). Для данных шаров имеем \(S_1 = 4\pi r^2\) и \(S_2 = 4\pi R^2\). По условию задачи:

\(
\frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = \frac{m^2}{n^2}
\)

После сокращения одинаковых множителей получаем:

\(
\frac{R^2}{r^2} = \frac{m^2}{n^2}
\)

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим отношение радиусов:

\(
\frac{R}{r} = \frac{m}{n}
\)

Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Для данных шаров объемы равны \(V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3\) и \(V_2 = \frac{4}{3}\pi R^3\). Находим отношение объемов:

\(
\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{R^3}{r^3}
\)

Подставляя найденное ранее отношение радиусов, получаем:

\(
\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{m}{n}\right)^3 = \frac{m^3}{n^3}
\)

Таким образом, отношение объемов шаров \(S_2\) и \(S_1\) равно \(\frac{m^3}{n^3}\).

Ответ: \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{m^3}{n^3}\).