ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1252 Атанасян — Подробные Ответы

Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Дано: Шар \( S(O; r) \); Цилиндр \( C(r, h) \); \( V_s = V_c \).

Выразить: \( h \) через \( r \).

Решение:
Объем шара находится по формуле: \( V_s = \frac{4}{3} \pi r^3 \).
Объем цилиндра находится по формуле: \( V_c = \pi r^2 h \).
Так как \( V_s = V_c \), то \( \frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h \).
Сократим на \( \pi r^2 \): \( \frac{4}{3} r = h \).

Ответ: \( h = \frac{4}{3} r \).

Рассмотрим задачу о нахождении высоты цилиндра при равенстве объёмов шара и цилиндра. Имеем шар с радиусом \( r \) и цилиндр с радиусом основания \( r \) и высотой \( h \). По условию их объёмы равны: \( V_{\text{шара}} = V_{\text{цилиндра}} \).

Объём шара вычисляется по формуле \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Объём цилиндра находится как \( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \). Приравнивая эти выражения, получаем уравнение \( \frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h \).

Для решения уравнения сначала сократим обе части на \( \pi r^2 \), что допустимо, так как \( \pi \neq 0 \) и \( r \neq 0 \). После сокращения получаем \( \frac{4}{3} r = h \). Таким образом, искомая высота цилиндра выражается через радиус как \( h = \frac{4}{3} r \).

Это означает, что при одинаковых объёмах шара и цилиндра с равными радиусами, высота цилиндра всегда будет составлять \( \frac{4}{3} \) от его радиуса. Данное соотношение демонстрирует интересную геометрическую зависимость между параметрами этих тел.