ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1251 Атанасян — Подробные Ответы

Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен ϕ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при этом вращении.

1. Радиус основания конусов:
\( r = m \cdot \sin \phi \)

2. Площадь поверхности:
\( S_{\text{пов}} = 2\pi r l = 2\pi \cdot m \cdot \sin \phi \cdot m = 2\pi m^2 \sin \phi \)

3. Ответ:
\( S_{\text{пов}} = 2\pi m^2 \sin \phi \)

Дано равнобедренный треугольник \(\Delta ABC\) с боковыми сторонами \(AB = BC = m\) и углами при основании \(\angle A = \angle C = \phi\). Требуется найти площадь поверхности тела, полученного вращением этого треугольника вокруг его основания \(AC\).

При вращении \(\Delta ABC\) вокруг стороны \(AC\) образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных основаниями.

Найдем параметры конусов:
Высота каждого конуса равна расстоянию от вершины \(B\) до основания \(AC\), то есть высоте треугольника \(h = OB\). Так как треугольник равнобедренный, то \(OB\) является одновременно медианой, биссектрисой и высотой.

Радиус основания конусов \(r\) равен половине стороны \(AC\), но его можно выразить через боковую сторону \(m\) и угол \(\phi\):
\( r = m \cdot \sin \phi \)

Высота конуса \(h\) вычисляется по теореме Пифагора:
\( h = \sqrt{m^2 — r^2} = \sqrt{m^2 — (m \sin \phi)^2} = m \cos \phi \)

Площадь боковой поверхности одного конуса:
\( S_{\text{бок}} = \pi r l \)
где \(l\) — образующая конуса, равная \(m\).

Таким образом, площадь поверхности двух конусов:
\( S_{\text{пов}} = 2 \cdot \pi r l = 2 \pi \cdot m \sin \phi \cdot m = 2 \pi m^2 \sin \phi \)

Итоговый ответ:
\( S_{\text{пов}} = 2 \pi m^2 \sin \phi \)

Дополнительно можно проверить, что если \(\phi = 90^\circ\), то \(\sin \phi = 1\), и площадь поверхности становится \(2 \pi m^2\), что соответствует площади цилиндра высотой \(m\) и радиусом \(m\), что логично, так как при \(\phi = 90^\circ\) треугольник становится прямоугольным, и вращение дает цилиндр.

Если требуется найти полную площадь поверхности (включая основания), то нужно добавить площадь двух кругов:
\( S_{\text{полн}} = 2 \pi m^2 \sin \phi + 2 \pi r^2 = 2 \pi m^2 \sin \phi + 2 \pi m^2 \sin^2 \phi \)
Но в исходной задаче, судя по записи, требуется только боковая поверхность.

Таким образом, окончательный ответ остается:
\( S_{\text{пов}} = 2 \pi m^2 \sin \phi \)