ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1238 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите объём прямой призмы ABCA1B1C1, если AB = BC = m, ∠ABC = ϕ и BB1 = BD, где BD — высота треугольника ABC.

Дано: \(ABC{A_1}{B_1}{C_1}\) — прямая призма;
\(AB = BC = m\); \(\angle ABC = \varphi\); \(BB_1 = BD\); \(BD \perp AC\);
Найти: \(V\).

Решение:

1) В равнобедренном треугольнике \(\triangle ABC\) \(BD\) — высота, медиана и биссектриса.
\(BD = BC \cdot \cos \frac{\varphi}{2} = m \cdot \cos \frac{\varphi}{2}\)

2) Площадь основания:
\(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} m^2 \cdot \sin \varphi\)

3) Высота:
\(n = BB_1 = BD = m \cdot \cos \frac{\varphi}{2}\)

4) Объем:
\(V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{2} m^2 \cdot \sin \varphi \cdot m \cdot \cos \frac{\varphi}{2} = \frac{1}{2} m^3 \sin \varphi \cos \frac{\varphi}{2}\)

Ответ: \(\frac{1}{2} m^3 \sin \varphi \cos \frac{\varphi}{2}\).

Дано: \(ABC{A_1}{B_1}{C_1}\) — прямая призма;
\(AB = BC = m\); \(\angle ABC = \varphi\); \(BB_1 = BD\); \(BD \perp AC\);
Найти: \(V\).

Решение:

1) В равнобедренном треугольнике \(\triangle ABC\), \(BD\) является высотой, медианой и биссектрисой. Это значит, что \(BD\) делит угол \(\angle ABC\) пополам и перпендикулярен стороне \(AC\). Следовательно, длина \(BD\) может быть найдена через косинус половины угла \(\varphi\):

\(
BD = BC \cdot \cos \frac{\varphi}{2} = m \cdot \cos \frac{\varphi}{2}
\)

2) Площадь основания призмы — это площадь треугольника \(\triangle ABC\). Поскольку это равнобедренный треугольник, площадь может быть вычислена как половина произведения квадратов сторон на синус угла между ними:

\(
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \varphi = \frac{1}{2} m^2 \cdot \sin \varphi
\)

3) Высота призмы \(n\) равна длине \(BB_1\), которая равна длине \(BD\) (поскольку \(BB_1 = BD\)):

\(
n = BB_1 = BD = m \cdot \cos \frac{\varphi}{2}
\)

4) Объем призмы \(V\) равен произведению площади основания на высоту:

\(
V = S_{\text{осн}} \cdot n = \left(\frac{1}{2} m^2 \cdot \sin \varphi\right) \cdot \left(m \cdot \cos \frac{\varphi}{2}\right)
\)

Преобразуем выражение:

\(
V = \frac{1}{2} m^3 \sin \varphi \cos \frac{\varphi}{2}
\)

Ответ: \(\frac{1}{2} m^3 \sin \varphi \cos \frac{\varphi}{2}\).