ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1237 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите объём куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), если:
а) \( AC = 12 \, \text{см} \);
б) \( AC_1 = 3\sqrt{2} \);
в) \( DE = 1 \, \text{см} \), где \( E \) — середина ребра \( AB \).

Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб;
а) \(AC = 12 \, \text{см}\);
б) \(AC_1 = 3\sqrt{2}\);
в) \(DE = 1 \, \text{см}\);
\(E \in AB\);
\(\Delta E = EB\);
Найти: \(V-?\);

Решение:

а) 1) Диагональ грани \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \, \text{(см)}\);
2) Объем: \(V = a^3 = (6\sqrt{2})^3 = 432\sqrt{2} \, \text{(см}^3\text{)}\);

б) 1) Диагональ куба \(AC_1 = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{AC_1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}\);
2) Объем: \(V = a^3 = (\sqrt{6})^3 = 6\sqrt{6}\);

в) 1) \(DE = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{5a^2}}{2} \Rightarrow a = \frac{2 \cdot DE}{\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \, \text{(см)}\);
2) Объем: \(V = a^3 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{25} \, \text{(см}^3\text{)}\).

Ответ: а) \(432\sqrt{2} \, \text{см}^3\); б) \(6\sqrt{6}\); в) \(\frac{8\sqrt{5}}{25} \, \text{см}^3\).

Давайте пересчитаем, чтобы все ответы были одинаковыми.

Решение:

а) Для нахождения объема куба с диагональю грани \(AC\):

1. Диагональ грани куба:
\(AC = a\sqrt{2}\)
где \(a\) — сторона куба.
Отсюда:
\(a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \, \text{см}\)

2. Объем куба:
\(V = a^3 = (6\sqrt{2})^3 = 432\sqrt{2} \, \text{см}^3\)

б) Для нахождения объема куба с диагональю куба \(AC_1\):

1. Диагональ куба:
\(AC_1 = a\sqrt{3}\)
Отсюда:
\(a = \frac{AC_1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \, \text{см}\)

2. Объем куба:
\(V = a^3 = (\sqrt{6})^3 = 6\sqrt{6} \, \text{см}^3\)

в) Для нахождения объема куба с отрезком \(DE\), где \(E\) — середина ребра \(AB\):

1. Поскольку \(E\) — середина \(AB\), \(DE\) является половиной диагонали грани:
\(DE = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Отсюда:
\(a = \frac{2 \times DE}{\sqrt{5}} = \frac{2 \times 1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \, \text{см}\)

2. Объем куба:
\(V = a^3 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{25} \, \text{см}^3\)

Ответ:
а) \(432\sqrt{2} \, \text{см}^3\);
б) \(6\sqrt{6} \, \text{см}^3\);
в) \(\frac{8\sqrt{5}}{25} \, \text{см}^3\).