ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1230 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Дано: Сфера (O; R); Конус (r; h); \( l = 2r; h = 2R; \)
Доказать: \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} \)

Доказательство:
1) Площадь сферы: \( S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2; \)
2) Высота конуса:
\( h^2 = l^2 — r^2 = (2r)^2 — r^2 = 3r^2, \)
отсюда \( h = 2R = \sqrt{3}r; \)
3) Радиус основания конуса:
\( r = \frac{2R}{\sqrt{3}}; \)
4)
\( S_{\text{конуса}} = \pi r^2 + \pi rl = \pi r^2 + \pi r \cdot 2r = 3\pi r^2 = \)
\( = 3\pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3\pi \cdot \frac{4R^2}{3} = 4\pi R^2; \)
5) Таким образом \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} = 4\pi R^2, \) что и требовалось доказать.

Дано: Сфера с центром \( O \) и радиусом \( R \); Конус с радиусом основания \( r \) и высотой \( h \); \( l = 2r \) — образующая конуса, \( h = 2R \) — высота конуса.

Доказать: \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} \)

Доказательство:

1) Площадь сферы:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
\( S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 \)

2) Высота конуса:
По условию, высота конуса равна диаметру сферы, то есть \( h = 2R \).

3) Образующая конуса:
Образующая конуса равна диаметру основания, то есть \( l = 2r \).

4) Радиус основания конуса:
Из условия мы знаем, что высота конуса \( h \) и образующая \( l \) связаны с радиусом основания \( r \) следующим образом:
\( h^2 = l^2 — r^2 \)
Подставим известные значения:
\( (2R)^2 = (2r)^2 — r^2 \)
\( 4R^2 = 4r^2 — r^2 \)
\( 4R^2 = 3r^2 \)
\( r^2 = \frac{4R^2}{3} \)
\( r = \frac{2R}{\sqrt{3}} \)

5) Площадь полной поверхности конуса:
Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности:
\( S_{\text{конуса}} = \pi r^2 + \pi rl \)
Подставим значения:
\( S_{\text{конуса}} = \pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 + \pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) \cdot 2r \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \frac{4R^2}{3} + \pi \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot 2 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \frac{4R^2}{3} + \pi \cdot \frac{8R^2}{3} \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \left(\frac{4R^2}{3} + \frac{8R^2}{3}\right) \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \frac{12R^2}{3} \)
\( S_{\text{конуса}} = 4\pi R^2 \)

Таким образом, \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} = 4\pi R^2 \), что и требовалось доказать.