Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1230 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
Дано: Сфера (O; R); Конус (r; h); \( l = 2r; h = 2R; \)
Доказать: \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} \)
Доказательство:
1) Площадь сферы: \( S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2; \)
2) Высота конуса:
\( h^2 = l^2 — r^2 = (2r)^2 — r^2 = 3r^2, \)
отсюда \( h = 2R = \sqrt{3}r; \)
3) Радиус основания конуса:
\( r = \frac{2R}{\sqrt{3}}; \)
4)
\( S_{\text{конуса}} = \pi r^2 + \pi rl = \pi r^2 + \pi r \cdot 2r = 3\pi r^2 = \)
\( = 3\pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3\pi \cdot \frac{4R^2}{3} = 4\pi R^2; \)
5) Таким образом \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} = 4\pi R^2, \) что и требовалось доказать.
Дано: Сфера с центром \( O \) и радиусом \( R \); Конус с радиусом основания \( r \) и высотой \( h \); \( l = 2r \) — образующая конуса, \( h = 2R \) — высота конуса.
Доказать: \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} \)
Доказательство:
1) Площадь сферы:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
\( S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 \)
2) Высота конуса:
По условию, высота конуса равна диаметру сферы, то есть \( h = 2R \).
3) Образующая конуса:
Образующая конуса равна диаметру основания, то есть \( l = 2r \).
4) Радиус основания конуса:
Из условия мы знаем, что высота конуса \( h \) и образующая \( l \) связаны с радиусом основания \( r \) следующим образом:
\( h^2 = l^2 — r^2 \)
Подставим известные значения:
\( (2R)^2 = (2r)^2 — r^2 \)
\( 4R^2 = 4r^2 — r^2 \)
\( 4R^2 = 3r^2 \)
\( r^2 = \frac{4R^2}{3} \)
\( r = \frac{2R}{\sqrt{3}} \)
5) Площадь полной поверхности конуса:
Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности:
\( S_{\text{конуса}} = \pi r^2 + \pi rl \)
Подставим значения:
\( S_{\text{конуса}} = \pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 + \pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) \cdot 2r \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \frac{4R^2}{3} + \pi \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot 2 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \frac{4R^2}{3} + \pi \cdot \frac{8R^2}{3} \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \left(\frac{4R^2}{3} + \frac{8R^2}{3}\right) \)
\( S_{\text{конуса}} = \pi \cdot \frac{12R^2}{3} \)
\( S_{\text{конуса}} = 4\pi R^2 \)
Таким образом, \( S_{\text{сферы}} = S_{\text{конуса}} = 4\pi R^2 \), что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.